Question

У трикутник АВС вписано коло, яке дотикається до сторони AB, ВС, АС трикутника у точках М, К, Р відповідно АВ= 12см, АМ= 4см, АС = 9см. Знайти периметр трикутника АВС

Answer 1

Ответ:

Ответ:

42 см.

Объяснение:

АК=АР, КВ=ВМ, СМ=РС як пари дотичних до кола, проведених з однієї точки.

АК=АР=7 см

СМ=СР=8 см

ВК=ВМ=ВС-СМ=14-8=6 см

АВ=7+6=13 см, АС=7+8=15 см, ВС=14 см

Р=13+15+14=42 см

Answer 2

Дано, що у трикутнику \(ABC\) вписане коло, яке дотикається до сторін \(AB\), \(BC\), \(AC\) у точках \(M\), \(K\), \(P\) відповідно. Також відомо, що \(AB = 12\) см, \(AM = 4\) см, \(AC = 9\) см.

Спершу визначимо інші сторони трикутника. Оскільки точка \(M\) є точкою дотику кола до сторони \(AB\), то відомо, що \(AM\) є відстанню від вершини \(A\) до точки дотику кола. Аналогічно, можемо визначити відстані \(BK\) і \(CP\).

Нехай \(BM = x\), тоді \(BK = x\), оскільки \(BM\) і \(BK\) є радіусами вписаного кола.

Також, позначимо \(CP = y\), тоді \(AP = AC - PC = 9 - y\), оскільки \(CP\) є відстанню від вершини \(A\) до точки дотику кола.

Тепер ми можемо виразити \(BC\) як суму \(BK\) і \(CP\): \(BC = x + y\).

Таким чином, ми отримали вирази для всіх сторін трикутника \(ABC\): \[AB = 12\, \text{см},\] \[AC = 9\, \text{см},\] \[BC = x + y.\]

За допомогою теореми Піфагора ми можемо також виразити сторону \(BC\), оскільки ми знаємо сторони \(AB\) і \(AM\): \[BC^2 = AB^2 - AM^2.\]

Підставимо відомі значення: \[(x + y)^2 = 12^2 - 4^2.\]

Розкриємо дужки: \[x^2 + 2xy + y^2 = 144 - 16.\]

Зведемо подібні терміни: \[x^2 + y^2 + 2xy = 128.\]

Тепер у нас є система двох рівнянь: \[\begin{cases} x + y = BC \\ x^2 + y^2 + 2xy = 128 \end{cases}\]

Розв'яжемо цю систему для знаходження значень \(x\) і \(y\).

Спростимо перше рівняння системи, використовуючи відоме значення \(BC = x + y\): \[x + y = BC \implies x + y = x + y.\]

Розв'язавши перше рівняння системи, ми отримаємо \(x + y = x + y\), що є тотожністю. Це означає, що це рівняння не додає нам додаткової інформації.

Тепер ми можемо використовувати друге рівняння системи для знаходження значень \(x\) і \(y\): \[x^2 + y^2 + 2xy = 128.\]

Знаючи значення \(BC = x + y\), ми можемо знайти периметр трикутника \(ABC\): \[P = AB + AC + BC.\]

Підставимо відомі значення: \[P = 12 + 9 + BC.\]

Таким чином, задача сводиться до знаходження значень \(x\) і \(y\), які задовольняють рівняння \(x^2 + y^2 + 2xy = 128\). Розв'язавши це рівняння, ми зможемо знайти периметр трикутника \(ABC\).