Question

Сторони трикутника дорівнюють 25см, 29см і 36см. Знайти найменшу висоту трикутника, радіус вписаного та описаного кола.

Answer 1

Найперше, перевіримо чи задані сторони можуть утворити трикутник. Для цього використаємо нерівність трикутника, за якою сума довжин будь-яких двох сторін має бути більше третьої сторони:

25 + 29 > 36, 25 + 36 > 29, 29 + 36 > 25

Отже, задані сторони утворюють трикутник.

Найменша висота трикутника:

Найперше, знайдемо півпериметр трикутника (р), що дорівнює сумі довжин сторін, поділеній на 2:

p = (25 + 29 + 36) / 2 = 45

Потім використовуючи формулу для обчислення площі трикутника (S) за його півпериметром та радіусом вписаного кола (r), отримуємо:

S = sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c))

де a, b та c - сторони трикутника

S = sqrt(45(45 - 25)(45 - 29)(45 - 36)) ≈ 336.13

r = S / p = 336.13 / 45 ≈ 7.47

Оскільки висота трикутника (h) є дворазовою проекцією радіуса вписаного кола на сторону, то:

h = 2r * (a + b + c) / (a + b + c)

h = 2 * 7.47 * (25 + 29 + 36) / (25 + 29 + 36) ≈ 14.94

Отже, найменша висота трикутника дорівнює близько 14,94 см.

Радіус вписаного кола:

Радіус вписаного кола (r) визначається за формулою:

r = S / p = sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c)) / p

де a, b та c - сторони трикутника, а S та p були обчислені раніше

r = sqrt(45(45 - 25)(45 - 29)(45 - 36)) / 45 ≈ 7.47

Отже, радіус вписаного кола дорівнює близько 7,47 см.

Радіус описаного кола можна знайти за формулою:

R = abc / 4S,

де a, b, c - довжини сторін трикутника, а S - його площа.

Підставляючи в цю формулу відповідні значення, отримуємо:

R = (25 * 29 * 36) / (4 * 180) ≈ 23.7 см.

Отже, найменша висота трикутника дорівнює 24 см, радіус вписаного кола - близько 6,3 см, а радіус описаного кола - близько 23,7 см.

Answer 2

Triangle Side Lengths

The given triangle has side lengths of 25 cm, 29 cm, and 36 cm.

Finding the Smallest Height of the Triangle

To find the smallest height of the triangle, we can use the formula for the area of a triangle: Area = (base * height) / 2. Since we want to find the smallest height, we need to find the base that corresponds to the longest side of the triangle. In this case, the longest side is 36 cm. Let's denote this side as the base.

Using the formula for the area of a triangle, we can rearrange it to solve for the height: Height = (2 * Area) / Base. We can calculate the area of the triangle using Heron's formula, which states that the area of a triangle with side lengths a, b, and c is given by: Area = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)), where s is the semiperimeter of the triangle.

Let's calculate the area and the smallest height of the triangle using the given side lengths:

- Semiperimeter (s) = (25 + 29 + 36) / 2 = 45 - Area = sqrt(45 * (45 - 25) * (45 - 29) * (45 - 36)) = sqrt(45 * 20 * 16 * 9) = 180 cm^2 - Smallest Height = (2 * 180) / 36 = 10 cm

Therefore, the smallest height of the triangle is 10 cm.

Radius of the Inscribed Circle

The radius of the inscribed circle in a triangle can be found using the formula: Radius = Area / Semiperimeter. We have already calculated the area and the semiperimeter of the triangle, so we can substitute these values into the formula:

- Radius = 180 / 45 = 4 cm

Therefore, the radius of the inscribed circle is 4 cm.

Radius of the Circumscribed Circle

The radius of the circumscribed circle in a triangle can be found using the formula: Radius = (a * b * c) / (4 * Area), where a, b, and c are the side lengths of the triangle. Let's substitute the given side lengths and the calculated area into the formula:

- Radius = (25 * 29 * 36) / (4 * 180) = 2610 / 720 = 3.625 cm (rounded to three decimal places)

Therefore, the radius of the circumscribed circle is approximately 3.625 cm.

Please let me know if there is anything else I can help you with!