Question

При якому значенні p, вектори a (p; -2; 1) і b (p; 1; - p) перпендикулярні?

Answer 1

Два вектори a і b будуть перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток буде дорівнювати нулю:

a · b = p * p + (-2) * 1 + 1 * (-p) = p^2 - p - 2=0

Таким чином, потрібно розв'язати квадратне рівняння:

p^2 - p - 2 = 0

Його корені можна знайти за допомогою формули коренів квадратного рівняння:

p = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

У нашому випадку a = 1

b = -1

c = -2

тому:

p = (1 ± √(1 + 8)) / 2 = (1 ± 3) / 2

Отже, маємо два можливих значення:

p₁ = -1

p₂ = 2

Перевіримо, чи вектори a і b є перпендикулярними при цих значеннях:

p₁ = -1:

a = (-1; -2; 1)

b = (-1; 1; 1)

a · b = (-1)*(-1) + (-2)1 + 11 = 0

Отже, вектори a і b є перпендикулярними при:

p = -1.

p₂ = 2:

a = (2; -2; 1)

b = (2; 1; -2)

a · b = 2*2 + (-2)1 + 1(-2) = 0

Отже, вектори a і b є перпендикулярними при p = 2.

Отже, значення p, при якому вектори a і b перпендикулярні, дорівнює -1 або 2.

Answer 2

Perpendicular Vectors

To determine when the vectors a = (p, -2, 1) and b = (p, 1, -p) are perpendicular, we need to find the condition for their dot product to be zero.

The dot product of two vectors a and b is given by the formula:

a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3

In this case, the dot product of a and b is:

a · b = p * p + (-2) * 1 + 1 * (-p) = p^2 - 2 + (-p) = p^2 - p - 2

For the vectors a and b to be perpendicular, their dot product must be zero:

p^2 - p - 2 = 0

To find the values of p that satisfy this equation, we can factorize it or use the quadratic formula.

Factoring the equation, we have:

(p - 2)(p + 1) = 0

This equation is satisfied when either p - 2 = 0 or p + 1 = 0.

Solving for p, we find two possible values:

1. p = 2 2. p = -1

Therefore, the vectors a = (p, -2, 1) and b = (p, 1, -p) are perpendicular when p is equal to 2 or -1.

Conclusion

The vectors a = (p, -2, 1) and b = (p, 1, -p) are perpendicular when p is equal to 2 or -1.