Question

СРОЧНО!!! 6. Унаслідок повороту навколо початку координат на 90° проти годинникової стрілки центр кола, заданого рівнянням (x-2)^2 + y^2 = 1, переходить у деяку точку А. Знайдіть координати цієї точки.​

Answer 1

Объяснение:

Поворот на 90° проти годинникової стрілки означає, що координати точки (x, y) замінюються на (-y, x).

Центр кола має координати (2, 0) та переходить у точку А, тому координати точки А дорівнюють:

x' = -y = -0 = 0

y' = x - 2 = 2 - 2 = 0

Отже, координати точки А дорівнюють (0, 0).

Answer 2

Щоб знайти нові координати точки А після повороту кола навколо початку координат на 90° проти годинникової стрілки, можемо скористатися формулами для повороту точки (x, y) на кут θ проти годинникової стрілки. Формули для повороту точки (x, y) на кут θ відносно початку координат виглядають так:

\[ x' = x \cos(\theta) - y \sin(\theta) \] \[ y' = x \sin(\theta) + y \cos(\theta) \]

У нашому випадку, \( \theta = 90^\circ \), отже, формули скорочуються до:

\[ x' = -y \] \[ y' = x \]

Задане коло має рівняння \( (x-2)^2 + y^2 = 1 \). Підставимо це рівняння у формули повороту:

\[ (-y)' = (x-2) \] \[ x' = -y \]

Підставимо другу формулу у першу:

\[ -(x-2) = -y \]

Розкриємо дужки та спростимо:

\[ x - 2 = y \]

Таким чином, ми отримали рівняння для нової точки \(A\): \(y = x - 2\).

Тепер, щоб знайти координати точки А, можемо підставити це рівняння в рівняння кола:

\[ (x-2)^2 + (x-2)^2 = 1 \]

Розв'яжемо це рівняння для \(x\):

\[ 2(x-2)^2 = 1 \]

\[ (x-2)^2 = \frac{1}{2} \]

\[ x - 2 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ x = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Отже, отримали дві можливі значення для \(x\). Підставимо кожне з них у рівняння \(y = x - 2\), щоб знайти відповідні значення \(y\).

1. При \(x = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}\): \[ y = (2 + \frac{\sqrt{2}}{2}) - 2 = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

2. При \(x = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}\): \[ y = (2 - \frac{\sqrt{2}}{2}) - 2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Отже, координати точки \(A\) після повороту кола навколо початку координат на 90° проти годинникової стрілки будуть:

1. \( (x, y) = \left(2 + \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \) 2. \( (x, y) = \left(2 - \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)