Question

3 точки до площини проведено дві похилі довжиною 15см і 13 см, а сума проекцій цих похилих дорівнює 14 см. Знайдіть відстань від точки до площини

Answer 1

Объяснение:

АВ=13 см

ВС=15 см

АН=х см

НС=14-х см

ВН =?

∆АВН - прямоугольный:

по теореме Пифагора:

ВН²=АВ²-АН²=13²-х²=169-х²

∆ВНС - прямоугольный:

по теореме Пифагора:

ВН²=ВС²-НС²=15²-(14-х)²=

=225-(196-28х+х²)=

=225-196+28х-х²=29+28х-х²

169-х²= 29+28х-х²

169-29=28х

140=28х

х=5 см

ВН²=169-5²=169-25=144

ВН=√144=12 см

ответ: ВН=12 см

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі ми можемо скористатися геометричними властивостями подібних трикутників. Нехай \( A \) - це точка, від якої проведені похилі до площини, \( B \) та \( C \) - кінці похилих, \( P \) - проекція точки \( A \) на площину.

Оскільки похилі подібні, то відношення відстаней точок \( A \), \( B \) і \( C \) до площини буде однаковим:

\[ \frac{AP}{AB} = \frac{AP}{AC} \]

Також нам дано, що сума проекцій похилих на площину дорівнює 14 см:

\[ AP + AP = 14 \, \text{см} \]

Тепер давайте позначимо відстані від точки \( A \) до кінців похилих як \( h_1 \) і \( h_2 \). Тоді \( AB = h_1 + 15 \, \text{см} \) і \( AC = h_2 + 13 \, \text{см} \). Підставимо це в рівняння відношення:

\[ \frac{AP}{h_1 + 15} = \frac{AP}{h_2 + 13} \]

Зробимо перетворення рівнянь. Перенесемо все на одну сторону:

\[ (h_1 + 15) \cdot \frac{AP}{h_1 + 15} - (h_2 + 13) \cdot \frac{AP}{h_2 + 13} = 0 \]

Зведемо до спільного знаменника:

\[ \frac{AP \cdot (h_2 + 13) - AP \cdot (h_1 + 15)}{h_1 + 15} = 0 \]

Винесемо \( AP \) за дужки:

\[ \frac{AP \cdot h_2 + 13 \cdot AP - AP \cdot h_1 - 15 \cdot AP}{h_1 + 15} = 0 \]

Спростимо:

\[ \frac{13 \cdot AP - 15 \cdot AP + AP \cdot (h_2 - h_1)}{h_1 + 15} = 0 \]

Розкриємо дужки:

\[ \frac{-2 \cdot AP + AP \cdot (h_2 - h_1)}{h_1 + 15} = 0 \]

Тепер ми бачимо, що \( AP \) може бути будь-яким числом, але відповідно до умов задачі сума проекцій \( AP + AP \) дорівнює 14 см. Отже,

\[ -2 \cdot AP + AP \cdot (h_2 - h_1) = 0 \]

\[ AP \cdot (h_2 - h_1) = 2 \cdot AP \]

\[ h_2 - h_1 = 2 \]

Тепер ми можемо скористатися іншою умовою, що сума проекцій дорівнює 14:

\[ AP + AP = 14 \]

\[ 2 \cdot AP = 14 \]

\[ AP = 7 \]

Отже, відстань від точки \( A \) до площини дорівнює 7 см.