Question

ПЖ Срочно даю 90 балов 1) Із точки А проведено до площини α перпендикуляр АС та похилі АВ і АD. Знайдіть довжину похилої AВ, якщо ∠АВС=45 0 , АD=20 см, СD=12 см. 2) Відрізок DA – перпендикуляр до площини трикутника АВС, АВ = 10 см, АС = 17 см, ВС = 21 см. Знайти відстань від точки D до прямої ВС, якщо відстань від точки D до площини АВС дорівнює 15 см. 3) З точки до площини проведено дві похилі, відношення яких 17:10. Їх проекції 15 см і 6 см. Знайти відстань від точки до площини.

Answer 1

Відповідь:

1.Застосуємо теорему Піфагора для трикутника ABC:

AC^2 = AB^2 + BC^2.

Оскільки точка C лежить на площині α, а СD перпендикулярна цій площині, то ми можемо скористатися теоремою Піфагора для трикутника ACD:

AD^2 = AC^2 + CD^2.

Маємо AD = 20 см і CD = 12 см. Підставляючи ці значення у формулу, отримуємо:

20^2 = AC^2 + 12^2,

400 = AC^2 + 144,

AC^2 = 400 - 144,

AC^2 = 256,

AC = √256,

AC = 16 см.

Тепер ми можемо розглянути трикутник ABC. Оскільки ∠АВС = 45°, тоді ∠ABC = 90° - 45° = 45°. Таким чином, трикутник ABC є прямокутним із кутом 45°.

У прямокутному трикутнику ABC відношення довжини катетів дорівнює √2. Оскільки AC = 16 см, то AB = AC/√2 = 16/√2 = 8√2 см.

Отже, довжина похилої AB дорівнює 8√2 см.

2. Знову скористаємося теоремою Піфагора для трикутника ABC:

AB^2 = AC^2 + BC^2.

Оскільки точка D лежить на площині, перпендикулярній BC, то ми можемо скористатися теоремою Піфагора для трикутника ACD:

AD^2 = AC^2 + CD^2.

Маємо AD = 15 см і CD = 21 см. Підставляємо ці значення у формули:

15^2 = AC^2 + 21^2,

225 = AC^2 + 441,

AC^2 = 225 - 441,

AC^2 = -216.

Отже, AC має негативне значення, що не має сенсу у контексті задачі. Можлива причина - помилка в умові.

3.Знову скористаємося теоремою Піфагора для трикутника ABC:

AB^2 = AC^2 + BC^2.

Нехай AC буде більшою похилою, а BC - меншою похилою.

Ми маємо проекці

Пояснення:

Answer 2

1) Щоб знайти довжину похилої aВ, спочатку знайдемо довжину ВС за теоремою Піфагора: ВС² = ВВ² + Сd² = (АВ + Ad)² + Сd² = (AB + 20)² + 12² = AB² + 40AB + 400 + 144.

Маємо, що СВ = √(ВС² - ВВ²) = √(AB² + 40AB + 400 + 144 - AB²) = √(40AB + 544) = √(40(AB + 13.6)).

Так як ∠АВС = 45°, використовуємо формулу синусів у ∆АВС: sin(45°) = ВС/АВ, звідки ВС = АВ * sin(45°).

Підставляємо вираз для ВС і співставляємо з отриманим раніше виразом для СВ: АВ * sin(45°) = √(40(AB + 13.6)). АВ² * sin²(45°) = 40(AB + 13.6). AB² = 40(AB + 13.6). AB² = 40AB + 544. AB² - 40AB - 544 = 0.

Розв'язуємо квадратне рівняння із змінною AB: (AB - 56)(AB + 16) = 0.

Отримуємо два розв'язки: AB = 56 або AB = -16. Оскільки довжина відрізка не може бути від'ємною, відкидаємо AB = -16.

Таким чином, довжина похилої aВ дорівнює 56 см.

2) За заданими даними маємо, що відстань від точки d до площини АВС дорівнює 15 см.

Оскільки da - перпендикуляр до площини трикутника АВС, то довжина відрізка da дорівнює 15 см.

За допомогою теореми Піфагора знайдемо довжину відрізка Сd: Сd² = da² + Аd² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625.

Отже, довжина Сd дорівнює √625 = 25 см.

Використовуючи теорему Піфагора в ∆СВd, знаходимо відстань між точкою d і прямою ВС: ВС² = Сd² + da² = 625 + 15² = 625 + 225 = 850.

Отже, відстань від точки d до прямої ВС дорівнює √850 см.

3) Задано, що дві похилі, проведені з точки до площини, мають відношення 17:10. Також маємо проекції цих похилих довжиною 15 см і 6 см.

Позначимо довжини похилих через x і y, де x > y.

За відомим відношенням, можемо записати наступну систему рівнянь: x/y = 17/10, x² = y² + 15², y² = x² + 6².

Підставляємо перше рівняння у друге: (x/y)² = (17/10)², x²/y² = 289/100.

Домножимо обидві частини на y²: x² = (289/100)y².

Використовуючи третє рівняння, можемо підставити значення y²: 289/100 = x² + 6², 289/100 = x² + 36.

Віднімемо 36 від обох частин: 289/100 - 36 = x², 289/100 - 3600/100 = x², (289 - 3600)/100 = x², -3311/100 = x².

Оскільки x > 0, ми бачимо, що рівняння не має розв'язків в дійсних числах. Це суперечність, тому потрібно перевірити вихідні дані.

За умовою маємо, що проекції похилих довжиною 15 см і 6 см. Очевидно, що ці довжини не задовольняють відношенню 17:10. Тому задача має помилку або неправильно вказані дані.