Question

СРОЧНО 1) Обчисліть довжину медіани AM трикутника ABC, якщо A(3; -4; 2) B(3; -2; 1) C(7; -10; 5) 2) Знайдіть ординату точки, яка належить осі ординат і рівновіддалена від точок A(3; 1; -1) C(1; 2; 2) 3) Знайдіть відстань від точки K(10; 12; -5) до осі абсцис

Answer 1

Щоб обчислити довжину медіани AM трикутника ABC, нам потрібно знайти середину M відрізка BC, а потім знайти відстань між точками A і M. Щоб знайти середину M, нам потрібно усереднити x, y і z -координати точок B і C. Тоді середня точка M буде (5, -6, 3). Щоб знайти відстань між точками A і M, ми можемо використати формулу відстані в трьох вимірах:

d = sqrt((3 - 5)^2 + (-4 - (-6))^2 + (2 - 3)^2) = sqrt(4 + 4 + 1) = sqrt(9) = 3

Отже, довжина медіани AM буде 3 одиниці.

Щоб знайти ординату точки, яка лежить на осі ординат і рівновіддалена від точок А і С, потрібно знайти середину відрізка АС. Щоб знайти середину, нам потрібно усереднити координати x, y і z точок A і C. Тоді середина буде (2, 1,5, 0,5). Отже, ордината точки буде 1,5.

Щоб знайти відстань від точки K (10, 12, -5) до осі x, нам потрібно обчислити відстань між точкою K і найближчою точкою на осі x. Найближча точка на осі x матиме ту саму координату x, що й точка K, тобто 10. Координати y та z цієї точки дорівнюватимуть 0. Отже, найближча точка на осі x буде (10 , 0, 0). Щоб знайти відстань між точкою K і цією найближчою точкою, ми можемо використати формулу відстані в трьох вимірах:

d = sqrt((10 - 10)^2 + (12 - 0)^2 + (-5 - 0)^2) = sqrt(144 + 25) = sqrt(169) = 13

Таким чином, відстань від точки K до осі x буде 13 одиниць.

Answer 2

1) Обчислення довжини медіани AM трикутника ABC:

Медіана трикутника – це відрізок, який з'єднує вершину трикутника з серединою протилежного йому відрізка. Для знаходження середини відрізка можна використати формулу середньої точки:

\[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \]

де \( A(x_1, y_1, z_1) \) і \( B(x_2, y_2, z_2) \) – координати кінців відрізка AB.

У нашому випадку, координати точок A(3, -4, 2) і B(3, -2, 1). Знайдемо середину відрізка AB:

\[ M\left(\frac{3 + 3}{2}, \frac{(-4) + (-2)}{2}, \frac{2 + 1}{2}\right) = (3, -3, \frac{3}{2}) \]

Тепер, знайдемо довжину відрізка AM за допомогою формули відстані між двома точками:

\[ AM = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2 + (z_M - z_A)^2} \]

\[ AM = \sqrt{(3 - 3)^2 + ((-3) - (-4))^2 + (\frac{3}{2} - 2)^2} \]

\[ AM = \sqrt{1 + 1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{14}{4}} = \sqrt{\frac{7}{2}} \]

Таким чином, довжина медіани AM трикутника ABC дорівнює \( \sqrt{\frac{7}{2}} \).

2) Знаходження ординати точки, яка належить осі ординат і рівновіддалена від точок A(3, 1, -1) і C(1, 2, 2):

Оскільки точка рівновіддалена від двох інших точок, то вона лежить на середній перпендикулярній лінії між цими точками. Знайдемо середню точку між A і C:

\[ M\left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2}\right) \]

\[ M\left(\frac{3 + 1}{2}, \frac{1 + 2}{2}, \frac{(-1) + 2}{2}\right) = (2, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}) \]

Отже, точка M(2, 3/2, 1/2) лежить на середній перпендикулярній лінії. Тепер знайдемо рівень ординати цієї точки, який буде відстанню між цією точкою і будь-якою з точок A або C. Наприклад, відстань між M і A:

\[ y = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \]

Таким чином, ордината точки належить осі ординат і рівновіддалена від точок A і C дорівнює \( \frac{1}{2} \).

3) Знаходження відстані від точки K(10, 12, -5) до осі абсцис:

Відстань від точки до осі абсцис (Ox) вимірюється як відстань від точки до проекції цієї точки на ось абсцис. Тобто, відстань вздовж осі ординат.

Ордината точки K(10, 12, -5) в даному випадку вже представляє відстань вздовж осі абсцис:

\[ \text{Відстань} = |y_K| = |12| = 12 \]

Отже, відстань від точки K до осі абсцис дорівнює 12.