Question

387. Хорда кола, що міститься від його центра на відстані 4 см, утворює з радіусом, проведеним в один з її кінців кут, що дорівнює 30º. Знайдіть діаметр кола.

Answer 1

Ответ:

У задачі 2 способи рішення, обери який для тебе зручніший

Объяснение:

1 спосіб:

Ми можемо використати геометричну конструкцію, щоб знайти рішення цієї задачі.

Спочатку ми малюємо коло з центром O і радіусом r, а потім малюємо хорду AB, яка перетинає радіус OA під кутом 30°. Ми позначаємо точку перетину M.

Тоді, за теоремою про хорду, яка проходить через центр кола, довжина OM дорівнює радіусу r. Оскільки AM і MB мають однакову довжину (тому що кут, утворений радіусом і хордою, є 30°), то AM і MB дорівнюють половині довжини хорди AB.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику OAM ми можемо знайти довжину OA:

OA^2 = OM^2 + AM^2

r^2 = (r-4)^2 + (AB/2)^2

розкриваємо дужки і скорочуємо подібні члени:

0 = 16r - AB^2

З іншого боку, ми можемо використовувати трикутник OMB і ту саму теорему Піфагора, щоб знайти довжину OB:

OB^2 = OM^2 + MB^2

r^2 = (r+4)^2 + (AB/2)^2

0 = -8r - AB^2

Тепер ми маємо систему рівнянь:

0 = 16r - AB^2

0 = -8r - AB^2

З першого рівняння ми можемо виразити AB^2 як 16r, а з другого - як -8r. Підставляючи одне значення в інше, отримуємо:

16r = -8r

24r = 0

r = 0

Отже, діаметр кола дорівнює 0. Але це не можливо, тому що діаметр має бути додатнім числом. Це означає, що задача не має розв'язку. Можливо, була допущена помилка в умові.

2 спосіб:

Ми знаємо, що кут AOB дорівнює 60° (оскільки кут AOM дорівнює 30°, а кут AOB є доповнюючим до кута AOM). Тоді, за теоремою косинусів:

AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 * AO * BO * cos(AOB)

Ми можемо використовувати те, що AM = MB = AB/2, а також що AO = BO = r, отже:

AB^2 = 2r^2 - 2r^2 * cos(60°)

AB^2 = 2r^2 - r^2 = r^2

Тому AB = r.

Ми також знаємо, що відрізок, який з'єднує центр кола з точкою дотику хорди, перпендикулярний до хорди. Тому, за теоремою Піфагора, ми можемо записати:

r^2 = (AB/2)^2 + 4^2

Підставивши AB = r з попереднього рівняння, ми отримаємо:

r^2 = (r/2)^2 + 16

Розв'язавши це рівняння, ми отримуємо:

r^2 = 64

r = 8

Отже, діаметр кола дорівнює 2r = 16 см.

Answer 2

Щоб знайти діаметр кола, нам потрібно використати відомості про хорду та кут, який вона утворює з радіусом.

Відомості:

- Хорда кола міститься від його центра на відстані 4 см. - Ця хорда утворює з радіусом, проведеним в один з її кінців, кут, що дорівнює 30º.

Розв'язок:

1. За теоремою про хорду кола, яка міститься на відстані d від центра кола, можна знайти довжину хорди за формулою: d = 2 * r * sin(θ/2), де r - радіус кола, а θ - кут, утворений хордою та радіусом. 2. В нашому випадку, ми знаємо, що хорда міститься на відстані 4 см від центра кола і утворює кут 30º з радіусом. 3. Позначимо діаметр кола як D. Тоді радіус кола буде рівний половині діаметра: r = D/2. 4. Підставимо відомі значення в формулу для хорди: 4 = 2 * (D/2) * sin(30/2). 5. Спростимо вираз: 4 = D * sin(15). 6. Щоб знайти D, поділимо обидві частини рівняння на sin(15): D = 4 / sin(15).

Результат:

Діаметр кола дорівнює (4 / sin(15)). Заокруглимо значення до потрібної точності.