Question

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 104, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 120. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания.

Answer 1

Ответ:

Площадь сечения равна 2√330 ед².

Объяснение:

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 104, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 120. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания.

Дано: SABCD - правильная пирамида;

Sбок = 104; Sполн = 120.

Найти: S (ASC)

Решение:

• В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, а все боковые грани - равнобедренные треугольники.

Площадь боковой поверхности равна:

        Sбок = 1/2 Рl,

где Р - периметр основания, l - апофема.

Площадь полной поверхности равна:

     Sполн = Sосн + Sбок

⇒ Sосн = Sполн - Sбок

Sосн = 120 - 104 = 16

Площадь квадрата равна:

       Sосн = а²,

где а - сторона квадрата.

⇒ AD = √16 = 4

Периметр квадрата равен:

          Р = 4а

Р = 4 · 4 = 16

Проведем высоту SH. Соединим Н и О.

Найдем апофему SH из формулы Sбок:

104 = 1/2 · 16 · SH

SH = 13

• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой.

⇒ DH = HC

Рассмотрим ΔACD - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

АС² = AD² + DC² = 16 + 16 = 32   ⇒   AC = 4√2

• Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

⇒ АО = ОС

DH = HC

⇒ ОН - средняя линия.

• Средняя линия равна половине стороны, которую она не пересекает.

⇒ ОН = AD : 2 = 2

Рассмотрим ΔОSH - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

OS² = SH² - OH² = 169 - 4 = 165   ⇒   OS = √165

Рассмотрим ΔASC.

Площадь треугольника равна:

        S = 1/2 · ah,

где а - сторона, h - высота, проведенная к этой стороне.

S(ASC) = 1/2 · AC · OS = 1/2 · 4√2 · √165 = 2√330

Площадь сечения равна 2√330 ед².

#SPJ1

Answer 2

Давай разберемся с задачей. У нас есть правильная четырёхугольная пирамида SABCD, где известно, что площадь боковой поверхности (боковых граней) равна 104, а площадь полной поверхности (включая основание) равна 120. Нам нужно найти площадь сечения через вершину S пирамиды и через диагональ её основания.

Для начала, давай используем формулы для площади поверхности пирамиды. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади её основания и площади боковой поверхности:

\[ \text{Площадь полной поверхности} = \text{Площадь основания} + \text{Площадь боковой поверхности} \]

Площадь основания пирамиды можно обозначить как \(S_{\text{осн}}\). Таким образом:

\[ 120 = S_{\text{осн}} + 104 \] \[ S_{\text{осн}} = 120 - 104 \] \[ S_{\text{осн}} = 16 \]

Теперь, чтобы найти площадь сечения через вершину S и диагональ основания, давай рассмотрим конкретные свойства этого сечения. Сечение, проходящее через вершину S и диагональ основания, создает правильный треугольник, имеющий сторону равную стороне основания пирамиды.

Так как у нас правильная четырёхугольная пирамида, у неё основание — квадрат. Если \(a\) - длина стороны этого квадрата (сторона основания), то площадь сечения будет площадью равностороннего треугольника с стороной \(a\).

Итак, чтобы найти площадь этого треугольника, можем использовать формулу площади равностороннего треугольника:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \times a^2 \]

Так как \(S_{\text{осн}} = 16\) (площадь квадрата, основания), то сторона \(a\) равна квадратному корню из \(16\):

\[ a = \sqrt{16} = 4 \]

Теперь можем найти площадь сечения:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \times 4^2 = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3} \]

Итак, площадь сечения, проходящего через вершину S пирамиды и через диагональ её основания, равна \(4\sqrt{3}\) квадратных единиц.