Question

Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС равны соответственно v10, 3 и 3v/3. Точка М расположена вне треугольника АВС, причём отрезок СМ пересекает сторону АВ в точке, отличной от В. Известно, что треугольник с вершинами М, А и С подобен исходному. Найдите косинус угла MАС, если MAС > 90°.

Answer 1

Ответ:

Чтобы найти косинус угла МАС, мы можем использовать известные стороны треугольника АВС и свойства подобных треугольников.

Из условия известно, что треугольник МАС подобен треугольнику АВС. Поэтому отношение соответствующих сторон треугольников должно быть одинаковым.

Мы знаем, что стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС равны соответственно √10, 3 и 3√3/3.

Пусть косинус угла МАС равен x.

Из подобия треугольников, получаем:

MA/AB = AC/BC

MA/√10 = (3√3/3)/(3)

Упрощаем:

MA/√10 = √3/3

Перемножаем обе части на √10:

MA = (√3/3) * √10

MA = √30/3

Таким образом, MA = √30/3.

Зная, что MA > 0 и MAС > 90°, мы можем установить, что MA отрицательно, чтобы соответствовать данному условию.

Теперь, чтобы найти косинус угла МАС, мы можем использовать теорему косинусов для треугольника МАС:

cos(MАС) = (AC² + MA² - CS²) / (2 * AC * MA)

Подставляем известные значения:

cos(MАС) = ((3√3/3)² + (√30/3)² - 3²) / (2 * (3√3/3) * (√30/3))

cos(MАС) = (3/3 + 30/9 - 9) / (√3 * √10)

cos(MАС) = (1 + 10/3 - 9) / (√3 * √10)

cos(MАС) = (1/3) / (√3 * √10)

cos(MАС) = 1 / (3√3√10)

Упрощаем:

cos(MАС) = 1 / (3√30)

Таким образом, косинус угла МАС равен 1 / (3√30)

Answer 2

Для начала, построим треугольник АВС и точку М. Если стороны треугольника АВС равны v10, 3 и 3v/3, соответственно, то мы можем представить треугольник на графике таким образом:

A / \ v10/ \ 3 / \ B-------C

Также известно, что отрезок СМ пересекает сторону АВ в точке, отличной от В. Пусть точка пересечения отрезка СМ со стороной АВ называется D.

A / \ v10/ \ 3 / \ B-------C / / D

Таким образом, треугольники АВС и МАС имеют общую сторону АС и равные соотношения сторон. Теперь мы можем найти соотношение сторон МА и МС.

Из равенства соответствующих сторон треугольников АВС и МАС, мы получаем:

МА/АВ = МС/СВ

Так как МА/АВ = МС/СВ = 3v/3 / v10 = 3/(v10/3), а МС = v10/3, можем найти МА.

МА = ВС * МА/АВ = 3 * (3/(v10/3)) = 9/(v10/3) = 9 * 3/v10 = 27/v10

Также известно, что maС > 90°. Заметим, что треугольник АБС является прямоугольным треугольником с гипотенузой равной v10. Таким образом, sin(mAС) = МС/АС = v10/3v10 = 1/3.

Теперь мы можем найти косинус угла mAС используя соотношение cos²(mAС) + sin²(mAС) = 1:

cos²(mAС) + (1/3)² = 1 cos²(mAС) + 1/9 = 1 cos²(mAС) = 1 - 1/9 cos²(mAС) = 8/9

Так как cos(mAС) > 0 (так как mAС > 90°), мы можем взять положительный корень:

cos(mAС) = √(8/9) = 2√2/3

Итак, косинус угла mAС равен 2√2/3.