Question

У прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 60°. Бісектриса цього кута дорівнює 8см. Знайти більший катет трикутника ​

Answer 1

Відповідь:

Для вирішення задачі використаємо теорему синусів:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

Де a, b, c - сторони трикутника, а A, B, C - кути, протилежні відповідним сторонам.

Оскільки один з гострих кутів дорівнює 60°, то інший гострий кут має мірою 30° (так як сума кутів в трикутнику дорівнює 180°).

Застосуємо бісектрису кута 30° і отримаємо два прямокутних трикутники з кутами 30°, 60° і 90°. Щоб знайти більший катет, потрібно знайти довжину меншого катета, яка є половиною гіпотенузи трикутника з кутом 30° і бісектрисою цього кута.

Спочатку знайдемо довжину гіпотенузи трикутника з кутом 30° і бісектрисою цього кута. Застосуємо теорему Піфагора:

c^2 = a^2 + b^2

У прямокутному трикутнику з кутами 30°, 60° і 90°, гіпотенуза дорівнює 2 меньшому катету, тому:

c = 2b

Підставляємо це у формулу Піфагора:

(2b)^2 = b^2 + a^2

4b^2 = b^2 + a^2

3b^2 = a^2

a = sqrt(3) * b

Тепер знаходимо менший катет:

b = 8 / 2 = 4

a = sqrt(3) * 4 = 4 * sqrt(3)

Отже, більший катет дорівнює 4 * sqrt(3) см.

Пояснення:

Answer 2

Давайте позначимо прямокутний трикутник ABC, де кут B є гострим і має величину 60°. Бісектриса цього кута розділить кут B на два рівні кути, оскільки вона є бісектрисою (розділяє кут навпіл). Таким чином, отримаємо два кути B1 та B2, кожен з них дорівнює 30°.

Також, бісектриса AC розділить протилежний кут C на два рівні кути C1 та C2, кожен з яких також дорівнює 30°.

Опишемо більший катет трикутника як BC (протилежний прямому куту). Тепер ми можемо використовувати трикутники BCB1 та BCC1 для знаходження BC.

За теоремою синусів в трикутнику BCB1: \[\frac{BC}{\sin B1} = \frac{BC1}{\sin 90°},\] де BC1 - це відома бісектриса, яка дорівнює 8 см. Але \(\sin 90° = 1\), тому \[BC = BC1 \cdot \sin B1.\]

Аналогічно, за теоремою синусів в трикутнику BCC1: \[\frac{BC}{\sin C1} = \frac{CC1}{\sin 90°},\] де CC1 - це також відома бісектриса. Знову ж таки, \(\sin 90° = 1\), тому \[BC = CC1 \cdot \sin C1.\]

Оскільки кути B1 та C1 є рівними і дорівнюють 30°, \(\sin B1 = \sin C1\). Тому ми можемо об'єднати обидві рівності і отримати: \[BC1 \cdot \sin B1 = CC1 \cdot \sin C1.\]

Підставляючи відомі значення, отримаємо: \[BC \cdot \sin 30° = 8 \cdot \sin 30°.\]

Звідси можемо вирішити для BC: \[BC = \frac{8 \cdot \sin 30°}{\sin 30°}.\]

Знаючи значення \(\sin 30°\) (що дорівнює \(\frac{1}{2}\)), отримаємо: \[BC = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \, \text{см}.\]

Отже, більший катет трикутника ABC дорівнює 4 см.