Question

Площадь равнобедренного треугольника равна 1200 см2, а его основание – 60 см. Точка пространства удалена от каждой стороны треугольника на 39 см. Вычислите расстояние от этой точки до плоскости треугольника. ДАМ 30 БАЛЛОВ!!!

Answer 1

Ответ:

Для начала найдем высоту равнобедренного треугольника через формулу:

h = √(a^2 - (b/2)^2), где a – основание, b – боковая сторона

Так как треугольник равнобедренный, то боковые стороны равны и обозначим их как x.

Тогда, подставив значения, получим:

h = √(60^2 - (x/2)^2)

Найдем b по теореме Пифагора для равнобедренного треугольника:

b^2 = x^2 - (x/2)^2

b^2 = 3/4 x^2

b = √(3/4 x^2) = √3/2 x

Теперь можем найти площадь треугольника через основание и высоту:

S = 1/2 ah

S = 1/2 * 60 * √(60^2 - (x/2)^2)

S = 900√(4-x^2/3600)

Из условия задачи известно, что площадь равна 1200 см2, поэтому можем записать уравнение:

900√(4-x^2/3600) = 1200

√(4-x^2/3600) = 4/3

4-x^2/3600 = 16/9

x^2/3600 = 5/9

x^2 = 2000

x = √2000 ≈ 44.7 см (боковая сторона)

Теперь можем найти высоту через формулу изначально выведенной:

h = √(60^2 - 22.35^2) ≈ 48.58 см

Осталось найти расстояние от точки до плоскости треугольника, для этого воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости:

d = |ax + by + cz + d0| / √(a^2 + b^2 + c^2), где a, b, c – коэффициенты плоскости, d0 – произвольный точка на плоскости.

Пусть точка на плоскости – вершина треугольника. Тогда координаты точки:

A(0,0,0), B(30, 44.7/2, 0), C(30, -44.7/2, 0)

Найдем коэффициенты плоскости через векторное произведение векторов AB и AC:

n = AB x AC = (44.7/2, -30, 0) x (-44.7/2, -30, 0) = (0, 0, 200.25)

a = 0, b = 0, c = 200.25

d0 = 0 (так как нулевая точка принята за вершину треугольника)

Таким образом, расстояние от произвольной точки, удаленной на 39 см от каждой стороны треугольника, до плоскости треугольника равно:

d = |200.25 * 39| / √(0^2 + 0^2 + 200.25^2) ≈ 7.78 см.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и теоремой Пифагора.

1. Известные данные: - Площадь треугольника \(S = 1200 \, \text{см}^2\). - Основание треугольника \(a = 60 \, \text{см}\).

2. Находим высоту треугольника: Площадь равнобедренного треугольника можно выразить через его основание и высоту:

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times h \]

Подставляем известные значения:

\[ 1200 = \frac{1}{2} \times 60 \times h \]

Решаем уравнение относительно высоты \( h \):

\[ h = \frac{1200 \times 2}{60} = 40 \, \text{см} \]

3. Ищем боковую сторону треугольника: В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна половине основания, то есть \( b = \frac{a}{2} = 30 \, \text{см} \).

4. Используем теорему Пифагора: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной основания, высотой и отрезком от точки до вершины треугольника. Обозначим этот отрезок как \( d \) (расстояние от точки до плоскости треугольника).

Тогда, применяя теорему Пифагора, получим:

\[ d^2 = b^2 + h^2 \]

Подставим известные значения:

\[ d^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500 \]

Теперь найдем само расстояние \( d \):

\[ d = \sqrt{2500} = 50 \, \text{см} \]

Таким образом, расстояние от точки до плоскости треугольника равно 50 см.