Question

4. Відрізки KF і DP перетинаються в точці М, причому DM = MP, KM = MF. Доведіть, що: а) трикутники KMD і FMP рівні; б) KD = FP.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:Углы, стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами, а вертикальные углы равны между собой. DM=MP и KM=MF по условию, угол KMD= углу PMF как вертикальные, следовательно треугольник KMD= треугольнику FMP по двум сторонам и углу между ними. Т. к. треугольники равны, значит и их стороны равны между собой, поэтому KD=FP.

Answer 2

Давайте розглянемо дані відомості та доведемо обидві частини завдання.

Дано: 1. Відрізки \(KF\) і \(DP\) перетинаються в точці \(M\). 2. \(DM = MP\). 3. \(KM = MF\).

Маємо довести: а) Трикутники \(KMD\) і \(FMP\) рівні. б) \(KD = FP\).

Доведення (а): Розглянемо трикутники \(KMD\) і \(FMP\). Вони мають спільний бік \(MP\), і за умовою \(DM = MP\), отже, вони мають спільний бік \(DM\) (рівність сторін). Також за умовою \(KM = MF\), сторони \(KD\) і \(FP\) є рівними. Таким чином, трикутники \(KMD\) і \(FMP\) мають дві рівні сторони і рівний кут між ними (\(DM = MP\), \(KD = FP\) і \(\angle KDM = \angle MFP\)).

Тепер розглянемо треті сторони: \(MD\) і \(MP\). Але за умовою \(DM = MP\), отже, і ці сторони рівні. Отже, за критерієм рівності трикутників, ми можемо стверджувати, що трикутники \(KMD\) і \(FMP\) рівні.

Доведення (б): Так як трикутники \(KMD\) і \(FMP\) рівні, то вони мають рівні відповідні кути. Зокрема, \(\angle KDM = \angle MFP\).

Розглянемо чотирикутник \(KDFM\). Ми знаємо, що \(\angle KDM = \angle MFP\), а також \(\angle KDM + \angle FDM = 180^\circ\) (оскільки це протилежні кути). Отже, \(\angle MFP + \angle FDM = 180^\circ\).

Тепер розглянемо трикутник \(FDM\). Маємо \(\angle MFP + \angle FDM = 180^\circ\). Але це означає, що \(\angle FDM = \angle KDM\).

Таким чином, кути \(\angle KDM\) і \(\angle FDM\) в чотирикутнику \(KDFM\) рівні. Отже, протилежні сторони \(KD\) і \(FP\) паралельні (за теоремою про протилежні кути), і вони мають однакову довжину.

Отже, \(KD = FP\), що і було потрібно довести.