Question

Розв'яжіть систему методом заміни зміних х+1/у +у/х+1 =2 (х-у)^2+x+y=4 Хай господь милує, допоможіть)!

Answer 1

Відповідь:

Розв'язок:

Почнемо з першого рівняння:

x + 1/y + y/(x+1) = 2

Помножимо обидві сторони на (x+1)y, щоб позбутися знаменника у другому доданку:

xy(x+1) + (x+1) + y^2 = 2xy(x+1)

Перенесемо все у ліву частину і спростимо:

x^2y - 2xy^2 + y^2 + x - 2y + 1 = 0

Тепер з другого рівняння можемо виразити x - y:

(x - y)^2 + x + y = 4

x - y = ± √(4 - x - y)

Звідси виразимо x:

x = y ± √(4 - x - y)

Підставимо це значення x у перше рівняння:

(y ± √(4 - x - y)) + 1/y + y/(y ± √(4 - x - y) + 1) = 2

Розв'яжемо це рівняння відносно y. Після деяких алгебраїчних операцій ми отримуємо квадратне рівняння:

(y^2 - 2y ± √(4 - x - y)y + 1)(y^2 + y ± √(4 - x - y)y + 1) = 0

Розв'язавши це рівняння відносно y, ми отримаємо 4 корені:

y = 1/2 ± √(x + 5/4), y = -1 ± √(x + 5)

Тепер можемо повернутися до рівняння x - y = ± √(4 - x - y) та підставити відповідні значення y, щоб знайти відповідні значення x.

Answer 2

Для розв'язання даної системи методом заміни змінних, спочатку знайдемо значення однієї змінної через іншу. Для цього позбавимось дробів у першому рівнянні:

х + 1/у = 2

Перенесемо 1/у на ліву сторону:

х - 2 = -1/у

Помножимо обидві частини на у:

у(х - 2) = -1

Отримали нове рівняння:

ух - 2у = -1 (1)

З системи другу рівність можна теж переписати в іншому вигляді:

(х - у)² + х + у = 4

Розкриємо квадрат у першій дужці:

х² - 2ху + у² + х + у = 4

Замінимо ух у цьому рівнянні значенням, яке ми отримали у першому рівнянні:

ух = 2у - 1

Підставимо це значення в нове рівняння, отримаємо:

2у - 1 - 2у + у² + х + у = 4

y² + 2y + х - 5 = 0 (2)

Тепер у нас є два рівняння з двома невідомими:

ух - 2у = -1 (1) y² + 2y + х - 5 = 0 (2)

Розв'яжемо перше рівняння відносно у:

у = (х - 1)/(2х)

Підставимо у це значення в друге рівняння:

(х - 1)²/(4х²) + 2(х - 1)/(2х) + х - 5 = 0

Розкриємо дужки та спростимо вираз:

(х² - 2х + 1)/(4х²) + (2х - 2)/(2х) + х - 5 = 0 (х² - 2х + 1 + 2х² - 2х + 4х²)/(4х²) + х - 5 = 0 (7х² - 3х + 1)/(4х²) + х - 5 = 0 (7х² - 3х + 1) + 4х²(х - 5) = 0 7х² - 3х + 1 + 4x³ - 20х² = 0 4x³ - 13х² - 3х + 1 = 0 (3)

Отже, ми отримали третє рівняння з однією невідомою. Його можна розв'язати, наприклад, за допомогою методу ділення многочленів або графічно.

Остаточне розв'язання системи буде складатися зі значень x та y, які задовольняють рівняння (3) та підставлені у (1).

Враховуючи складність третього рівняння, рекомендується використовувати обчислювальний софт або програму для розв'язування рівнянь з однією невідомою.