Question

1. В трапеции ABCD, AD –большее основание. Через вершину B проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону AD в точке Е, BC=7 см, AE=4 см. Найдите среднюю линию трапеции 2. Один из углов выпуклого четырехугольника – прямой, а остальные углы относятся как 5:6:7. Найдите все углы четырехугольника?.​

Answer 1

1. Нахождение средней линии трапеции:

В трапеции ABCD, где AD – большее основание, проведена прямая через вершину B, параллельная стороне CD и пересекающая сторону AD в точке E. Также известно, что BC = 7 см и AE = 4 см.

Средняя линия трапеции (медиана) делит каждое из оснований (AD и BC) пополам и параллельна основаниям. Пусть M1 и M2 - середины отрезков AD и BC соответственно. Тогда:

\[M1D = \frac{AD}{2},\] \[M2C = \frac{BC}{2}.\]

Так как прямая, проходящая через вершину B, параллельна стороне CD, то BM1E – медиана трапеции.

Таким образом, M1E = \(\frac{AE}{2} = 2\) см.

Следовательно, средняя линия трапеции BM1E равна \(BM1E = M2C + M1E = \frac{BC}{2} + \frac{AE}{2} = \frac{7}{2} + 2 = \frac{11}{2}\) см.

2. Нахождение углов выпуклого четырехугольника:

Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, где один из углов – прямой. Пусть углы относятся как 5:6:7, и угол B является прямым углом.

Пусть углы A, C и D равны 5x, 6x и 7x соответственно.

Углы в четырехугольнике суммируются до 360 градусов:

\[5x + 6x + 90^\circ + 7x = 360^\circ.\]

Объединяя подобные члены и решая уравнение, получим:

\[18x + 90^\circ = 360^\circ,\]

\[18x = 270^\circ,\]

\[x = 15^\circ.\]

Теперь мы можем найти каждый угол:

\[A = 5x = 5 \times 15^\circ = 75^\circ,\] \[C = 6x = 6 \times 15^\circ = 90^\circ,\] \[D = 7x = 7 \times 15^\circ = 105^\circ.\]

Таким образом, углы четырехугольника ABCD равны \(A = 75^\circ, B = 90^\circ, C = 90^\circ, D = 105^\circ\).