Question

на стороне ab равностороннего треугольника abc взята точка d так что отрезок BD равен 4 см отрезок AD - 6 см Из точки D на стороны AC и BC опущены перпиндекуляры - соответственно FD и DK Найди длины отрезка FС и KC

Answer 1

Ответ:

Длина отрезка FC=7см, отрезка KC=8см.

Объяснение:

Дан равносторонний треугольник АВС, точка D принадлежит стороне AB.

BD=4см, AD=6см. DK⟂BC, FD⟂AC.

Найдём длины отрезков FC и KC.

• Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

АВ=AD+BD=6+4=10см. Следовательно AC=BC=AC=10см.

∠A=∠B=∠C=60° .

Так как DK⟂BC, то △DKB - прямоугольный. ∠DKB=90°.

Следовательно ∠KDB=90°-∠B=90°-60°=30° - так как сумма углов прямоугольного треугольника равна 90°.

KB=2см, как катет, лежащий напротив угла в 30° ( он равен половине гипотенузы).

Значит KC= BC-KB=10-2=8см.

Так как FD⟂AC, то △DFA - прямоугольный. ∠DFA=90°.

Следовательно ∠ADF=90°-∠A=90°-60°=30°.

AF=3см, как катет, лежащий напротив угла в 30°.

Значит FC= AC-AF=10-3=7см

Answer 2

Давайте рассмотрим равносторонний треугольник ABC, где точка D выбрана на стороне AB так, что отрезок BD равен 4 см, а отрезок AD равен 6 см.

Так как треугольник ABC равносторонний, то все его стороны равны. Обозначим длину стороны треугольника как a.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и BCD.

В треугольнике ABD: - AB (сторона треугольника) = a, - AD = 6 см, - BD = 4 см.

С использованием теоремы Пифагора (в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов), мы можем найти длину AB:

\[AB^2 = AD^2 + BD^2\]

\[a^2 = 6^2 + 4^2\]

\[a^2 = 36 + 16\]

\[a^2 = 52\]

\[a = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\]

Теперь мы знаем, что длина стороны треугольника ABC равна \(2\sqrt{13}\) см.

Так как треугольник ABC равносторонний, высоты FD и DK также делятся в отношении 2:1.

Давайте обозначим длину высоты FD как h_FD и длину высоты DK как h_DK.

\[h_FD = \frac{2}{3} \cdot h_ABC\] \[h_DK = \frac{1}{3} \cdot h_ABC\]

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольников BFD и BDK.

В треугольнике BFD: \[BF^2 = BD^2 - FD^2\] \[BF^2 = 4^2 - \left(\frac{2}{3} \cdot h_ABC\right)^2\]

В треугольнике BDK: \[BK^2 = BC^2 - DK^2\] \[BK^2 = a^2 - \left(\frac{1}{3} \cdot h_ABC\right)^2\]

Так как \(a = 2\sqrt{13}\), мы можем подставить это значение в уравнение для \(BK^2\).

Теперь, учитывая, что треугольник ABC равносторонний, высота \(h_ABC\) может быть выражена как:

\[h_ABC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\] \[h_ABC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{13}\] \[h_ABC = \sqrt{39}\]

Теперь мы можем подставить \(h_ABC\) в уравнения для \(BF^2\) и \(BK^2\).

\[BF^2 = 4^2 - \left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{39}\right)^2\] \[BK^2 = (2\sqrt{13})^2 - \left(\frac{1}{3} \cdot \sqrt{39}\right)^2\]

Решив эти уравнения, мы найдем длины отрезков BF и BK.

\[BF \approx 3.08 \, \text{см}\] \[BK \approx 2\sqrt{10} \, \text{см}\]

Теперь, учитывая, что FС и KC являются частями стороны BC, мы можем выразить их длины как:

\[FC = BC - BF\] \[KC = BK\]

\[FC = 2\sqrt{13} - 3.08 \, \text{см}\] \[KC = 2\sqrt{10} \, \text{см}\]

Таким образом, длины отрезков FC и KC равны приблизительно:

\[FC \approx 2\sqrt{13} - 3.08 \, \text{см}\] \[KC \approx 2\sqrt{10} \, \text{см}\]