Question

Сумма радиусов описанной и вписанной окружностей правильного треугольника равна 12√3. Найдите периметр треугольника.

Answer 1

Ответ:

72

Объяснение:

r=a√3/6

R=a√3/3

r+R=a√3(1/3+1/6)=a√3/2

a√3/2=12√3

a/2=12

a=24

P=3a=24*3=72

Answer 2

Пусть \( R \) - радиус описанной окружности, а \( r \) - радиус вписанной окружности правильного треугольника. Тогда сумма радиусов этих окружностей равна:

\[ R + r = 12\sqrt{3} \]

Также, известно, что для правильного треугольника с радиусом описанной окружности \( R \) и радиусом вписанной окружности \( r \) справедливо:

\[ R = 2r \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} R + r = 12\sqrt{3} \\ R = 2r \end{cases} \]

Решим эту систему. Подставим второе уравнение в первое:

\[ 2r + r = 12\sqrt{3} \]

\[ 3r = 12\sqrt{3} \]

\[ r = 4\sqrt{3} \]

Теперь найдем радиус описанной окружности:

\[ R = 2r = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \]

Таким образом, радиус описанной окружности \( R = 8\sqrt{3} \), а радиус вписанной окружности \( r = 4\sqrt{3} \).

Теперь мы можем найти сторону треугольника, используя радиус вписанной окружности:

\[ a = 2r = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \]

Так как треугольник правильный, то все его стороны равны. Теперь найдем периметр треугольника:

\[ P = 3a = 3 \cdot 8\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \]

Таким образом, периметр правильного треугольника равен \( 24\sqrt{3} \).