Question

Доведіть, що площини суміжних граней прямокутного паралелепіпеда перпендикулярні.

Answer 1

Для доведення того, что площади смежных граней прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны, можно воспользоваться следующей логикой.

1. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, у которого одна из граней (назовем ее Г1) горизонтальна. Пусть Г1 представляет собой прямоугольник со сторонами a и b.

2. Так как плоскость грани Г1 горизонтальна, то прямые, перпендикулярные этой плоскости, будут вертикальными.

3. Пусть Г2 - смежная с Г1 грань параллелепипеда, а ее плоскость образует с плоскостью Г1 угол α.

4. Так как всякий прямоугольник можно представить в виде двух треугольников, можно представить грань Г2, сумежную с Г1, состоящую из двух треугольников.

5. Рассмотрим треугольник ABC на грани Г1 и треугольник A'B'C' на грани Г2. Пусть A и B - точки пересечения основания треугольников Г1 и Г2, соединяющие противоположные углы треугольника ABC. Точки A' и B' - пересечения параллельных сторон АС и ВС с плоскостью Г2, соответственно.

6. Так как точки A и B лежат на горизонтальной грани Г1, линия, соединяющая их, будет горизонтальной.

7. Следовательно, точки A' и B' также лежат на горизонтальной плоскости, так как они являются пересечениями вертикальных прямых с Г2.

8. Угол между плоскостями Г1 и Г2, обозначенный α, равен углу между горизонтальной линией, соединяющей точки A и B, и горизонтальной плоскостью Г1, на которой лежит этот отрезок. Таким образом, α = 90 градусов.

9. Поскольку угол между плоскостями Г1 и Г2 равен 90 градусам, то они перпендикулярны друг другу.

Таким образом, мы доказали, что площади смежных граней прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны друг другу.