Question

Варiант 1 1) Трикутник АВС вписано в коло так, що сторона АВ є його діаметром. Знайдіть радіус цього кола, якщо A=60º, BC=4/3 см.А. 8 см. Б. 4 см. В. 16 см. Г. 8√3 см.2) Катет прямокутного трикутника дорівнює 6/3 см, а прилеглий до ньо го кут -30°. Знайдіть периметр трикутника.А. 6(3+√3) см. Б. 18/3 см. В. (18+√3) см. 12/3 см.3) Гострий кут рівнобічної трапеції дорівнює 45°, а висота - 6/2 см. Чому дорівнює периметр трапеції, якщо відомо, що її можна описати навко ло кола?А. 24 см. Б. 48 см. В. 36 см. Г. 54 см.​

Answer 1

Ответ:

1. Б) 4см

2. А) 6(3+√3)см

3. Б) 48см

Объяснение:

1) Треугольник АВС вписан в круг так, что сторона АВ является его диаметром. Найдите радиус этого круга, если <A=60º, BC=4√3 см.

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Решение

• ∠С = 90°. Т.к. опирается на диаметр. Следовательно ∆АВС - прямоугольный.
• АВ является как диаметром, так и гипотенузой. Найдем его с помощью синус угла(А), который равен отношению противолежащего катета(СВ) к гипотенузе(АВ).

$\displaystyle \sf\sin60 {}^{ \circ} = \frac{4 \sqrt{3} }{AB}$

$\displaystyle \sf \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{4 \sqrt{3} }{AB}$

$\displaystyle \sf AB = \frac{ 8\sqrt{3} }{ \sqrt{3} }$

$\displaystyle \sf AB = 8(cm)$

• Радиус(ОВ) равняется половине диаметра(АВ): ОВ = 8/2 = 4(см)

------------------------------------------------------

2) Катет прямоугольного треугольника равен 6√3 см, а прилежащий к нему угол - 30°. Найдите периметр треугольника.

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Решение

• Чтобы найти периметр нужно для начало найти все стороны.
• Найдем второй катет с помощью котангенса угла(С), которая равна отношению прилежащего катета(АС) к противолежащему(АВ).

$\displaystyle \sf\text{ctg}30 {}^{ \circ} = \frac{6 \sqrt{3} }{AB}$

$\displaystyle \sf \sqrt{3} = \frac{6 \sqrt{3} }{AB}$

$\displaystyle \sf AB = \frac{6 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} }$

$\displaystyle \sf AB = 6(cm)$

• Катет АВ лежит против угла в 30°, значит равен половине гипотенузы: ВС = 6 * 2 = 12(см)
• Теперь найдем периметр зная, что он равен сумме всех сторон: Р∆АВС = 12 + 6 + 6√3 = 18 +6√3 = 6(3+√3)см

------------------------------------------------------

3) Острый угол равнобедренной трапеции равен 45°, а высота - 6√2 см. Чему равен периметр трапеции, если известно, что ее можно описать вокруг круга?

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Решение

• Трапеция равнобедренная, значит углы при основании равны, также боковые стороны тоже равны.
• Если мы можем в него вписать круг, значит сумма оснований равна сумме боковых сторон (суммы противоположных сторон описанного четырехугольника вокруг окружности равны).АВ + CD = BC + AD. А периметр равен сумме всех сторон. Из этого делаем вывод, что Р = 2(АВ + CD).
• Рассмотрим ∆АВЕ - прямоугольный. Найдем гипотенузу АВ через синус угла(А), который равен отношению противолежащего катета(ВЕ) к гипотенузе.

$></p><p><img src=$

Answer 2

1) За властивістю вписаного трикутника АВС, радіус кола R є півсумою сторін трикутника, поділеною на півпериметр трикутника:

R = (AB + AC + BC) / (2 * p),

де p - півпериметр трикутника.

Оскільки AB є діаметром кола, то AB = 2R.

За теоремою синусів маємо: bc / sin(a) = 2R, або R = bc / (2 * sin(a)).

Підставляючи значення bc = 4/3 см і a = 60º, отримуємо: R = (4/3) / (2 * sin(60º)) = (4/3) / (2 * √3 / 2) = 4/√3 = (4√3) / 3.

Отже, радіус цього кола дорівнює (4√3) / 3 см.

Відповідь: Г. (8√3) см.

2) За теоремою синусів маємо: протилежний катет = катет / sin(кут).

Периметр трикутника складається з суми сторін, тобто з катету, протилежного куту і гіпотенузи:

периметр = катет + протилежний катет + гіпотенуза.

Знаючи протилежний кут (30º) і катет (6/3 см), ми можемо виразити протилежний катет:

протилежний катет = (6/3) / sin(30º) = (6/3) / (1/2) = 4 см.

Тепер обчислюємо гіпотенузу за теоремою Піфагора: гіпотенуза = √(катет² + протилежний катет²) = √((6/3)² + 4²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5 см.

Тоді периметр трикутника становитиме: периметр = (6/3) + 4 + 2√5 = 2 + 4 + 2√5 = 6 + 2√5.

Отже, периметр трикутника дорівнює 6 + 2√5 см.

Відповідь: В. (6 + 2√5) см.

3) В рівнобічній трапеції всі бокові сторони рівні між собою, тому можемо позначити їх як a.

За властивостями рівнобічної трапеції, висота являє собою середню лінію, що ділить основи трапеції навпіл. Тому, якщо позначимо основи трапеції як b і c, то маємо таку рівність:

a / 2 = 6/2 = 3.

Отже, a = 6.

Оскільки кут між бічною стороною і основою трапеції дорівнює 45º, то кут між основою і діагоналлю трапеції також дорівнює 45º. Таким чином, трапецію можна описати навколо кола, і діагоналі трапеції будуть радіусами цього кола.

Тоді, використовуючи теорему синусів, можемо знайти діагональ трапеції:

діагональ = основа / sin (кут) = 6 / sin (45º) = 6 / (√2 / 2) = (6 * 2) / √2 = 6√2.

Периметр трапеції складається з суми всіх її сторін:

периметр = основа1 + основа2 + бічна сторона1 + бічна сторона2 = b + c + a + a = b + c + 2a.

Оскільки одна з діагоналей трапеції є радіусом описаного навколо неї кола, то маємо таку рівність:

b + c = 2 * діагональ = 2 * 6√2 = 12√2.

Тоді периметр трапеції становитиме: периметр = 12√2 + 2a = 12√2 + 2 * 6 = 12√2 + 12.

Отже, периметр трапеції дорівнює 12√2 + 12 см.

Відповідь: Г. (12√2 + 12) см.