Question

В треугольнике ABC медиана AM и высота BH пересекаются в точке O, причем ∠AOH = 60◦ Докажите, что AM = BH. дам 30 балов

Answer 1

Ответ:

........................................................

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства равенства \(AM = BH\) в треугольнике \(ABC\) с медианой \(AM\) и высотой \(BH\), покажем, что треугольники \(AOH\) и \(BOH\) равносторонние.

У нас уже дано, что \(\angle AOH = 60^\circ\). Также известно, что медиана в треугольнике делит другую сторону пополам, а высота проведена из вершины перпендикулярно основанию. Поскольку \(AM\) — медиана, она делит сторону \(BC\) пополам. Пусть \(D\) — середина стороны \(BC\).

Таким образом, у нас есть два треугольника: \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\). Поскольку \(AM\) — медиана, она делит основание \(BC\) пополам, следовательно, \(AD = DC\).

Теперь рассмотрим треугольники \(\triangle AOH\) и \(\triangle BOH\). У нас есть:

1. \(\angle AOH = \angle BOH = 60^\circ\) (дано). 2. \(AD = DC\) (так как \(AM\) — медиана).

Теперь докажем, что \(AO = BO\). Для этого рассмотрим треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\).

В этих треугольниках:

1. \(\angle AOB = \angle COD\) (вертикальные углы). 2. \(AO = OC\) (медиана делит сторону пополам).

Из этих двух фактов следует, что треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\) равны (по стороне-угол-стороне).

Теперь, если треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\) равны, то их боковые стороны равны, включая стороны \(AO\) и \(OC\). Таким образом, \(AO = BO\).

Теперь у нас есть два факта:

1. \(AD = DC\). 2. \(AO = BO\).

Из этих фактов следует, что треугольник \(AOH\) равносторонний. Так как \(AM\) — медиана, то она также является высотой, проведенной к основанию треугольника \(AOH\).

Таким образом, мы доказали, что треугольник \(AOH\) равносторонний, что означает, что \(AH = AO\). Поскольку \(AO = BO\) (как мы доказали выше), то \(AH = BO\). Теперь рассмотрим треугольники \(\triangle AHB\) и \(\triangle BHA\).

У нас есть:

1. \(AH = BO\). 2. \(\angle AHB = \angle BHA = 90^\circ\) (так как \(BH\) — высота).

Теперь, по теореме о равенстве прямоугольных треугольников, \(AB = BH\). Таким образом, мы доказали, что медиана \(AM\) равна высоте \(BH\) в треугольнике \(ABC\), то есть \(AM = BH\).

Надеюсь, это объяснение понятно. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.