Question

Коло вписане в прямокутний трикутник АВС дотикається до катетів. ВС і АС у точках М і К відповідно. Відомо що СМ = 3 см, ВМ = 5 см, СК:КА=1:4. Знайдіть радіуси вписаного та описаного кіл трикутника АВС

Answer 1

Відповідь: r=3см, R=8,5см

Пояснення: фото

Answer 2

Для вирішення цієї задачі використаємо властивість про коло, вписане в прямокутний трикутник. Ця властивість стверджує, що коло, вписане в прямокутний трикутник, має діаметр, який рівний гіпотенузі трикутника.

1. Знайдемо довжину гіпотенузи трикутника ABC: Використаємо теорему Піфагора: AC^2 + BC^2 = AB^2 Маємо СМ = 3 см, ВМ = 5 см. Застосуємо теорему Піфагора для трикутників CMB і BMA: CM^2 + BM^2 = BC^2 AM^2 + BM^2 = AB^2 Підставимо відомі значення: 3^2 + 5^2 = BC^2 9 + 25 = BC^2 BC^2 = 34

Таким чином, BC = √34 см.

2. Знайдемо довжину АК: SK : KA = 1 : 4 SK = BC / (1 + 4) = BC / 5 = √34 / 5

AK = BC - SK = √34 - √34 / 5 = (5√34 - √34) / 5 = 4√34 / 5

3. Знайдемо довжину радіуса вписаного кола: Знаємо, що радіус вписаного кола трикутника обернено пропорційний півпериметру трикутника (p) і прямими довжинами сторін трикутника (a, b, c): r = √(p(p - a)(p - b)(p - c)) / p

Півпериметр трикутника ABC: p = (AB + BC + AC) / 2 p = (√34 + √34 + BC) / 2 p = (√34 + √34 + √34) / 2 p = 3√34 / 2

Радіус вписаного кола: r = √((3√34 / 2) * (3√34 / 2 - √34) * (3√34 / 2 - √34) * (3√34 / 2 - BC)) / (3√34 / 2) r = √((3√34 / 2) * (√34 / 2) * (√34 / 2) * (3√34 / 2 - √34)) / (3√34 / 2) r = √(3 * √34 * (√34 / 2)^3) / (3√34 / 2) r = √(3 * √34 * 34 * √34 / 8) / (3√34 / 2) r = √(3 * 34 / 8) = √(51 / 4) = √51 / 2

Отже, радіус вписаного кола трикутника ABC дорівнює √51 / 2 см.

4. Знайдемо довжину радіуса описаного кола: Знаємо, що радіус описаного кола трикутника дорівнює половині довжини гіпотенузи трикутника. Оскільки BC = √34, то радіус описаного кола рівний BC / 2 = √34 / 2 см.

Отже, радіус вписаного кола трикутника ABC дорівнює √51 / 2 см, а радіус описаного кола дорівнює √34 / 2 см.