Question

На сторонах АВ, ВС, СD выпуклого четырёхугольника АВСD отмечены точки Е, Р, G так, что АЕ: ЕВ = СF: FВ = СG: GD =2:1. Во сколько раз площадь четырёхугольника АВСD больше площади треугольника ЕFG?

Answer 1

Ответ:

В 4,5 раза.

Объяснение:

Дано: ABCD - выпуклый четырехугольник.

АЕ: ЕВ = СF: FВ = СG: GD =2:1

Найти: $S_{ABCD}:S_{EFG}$

Решение:

На стороне AD отметим точку Н так, что AH:HD=2:1

Пусть $S_{ABO}=S_1;\;\;\;S_{BOC}=S_2;\;\;\;S_{DOC}=S_3;\;\;\;S_{AOD}=S_4$

Тогда $S_{ABCD}=S=S_1+S_2+S_3+S_4$

1) Рассмотрим ΔEBF и  ΔABC.

∠В - общий; ВЕ:ВА=BF:BC=1:3 (условие)

⇒ ΔEBF ~ ΔABC (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними)

$\displaystyle k=\frac{1}{3}$  

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

$\displaystyle \frac{S_{EBF}}{S_{ABC}}= \frac{S_{EBF}}{S_1+S_2}=\frac{1}{9}\\\\S_{EBF}=\frac{S_1+S_2}{9}$

2) Рассмотрим ΔHGD и ΔACD

Аналогично п.1 имеем

$\displaystyle S_{HGD}=\frac{S_3+S_4}{9}$

3) Рассмотрим ΔFCG и ΔBCD

∠C - общий; СF:CB=CG:CD=2:3

⇒ ΔFCG ~ ΔBCD (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними)

$\displaystyle k=\frac{2}{3}$

Отсюда

$\displaystyle \frac{S_{FCG}}{S_{BCD}}=\frac{S_{FCG}}{S_2+S_3}=\frac{4}{9}\\\\S_{FCG}=\frac{4S_2+4S_3}{9}$

4) Рассмотрим ΔАЕН и ΔABD

Аналогично п.3 имеем:

$\displaystyle \frac{S_{AEH}}{S_{ABD}}=\frac{S_{AEH}}{S_1+S_4}=\frac{4}{9}\\\\S_{AEH}=\frac{4S_1+4S_4}{9}$

5) Найдем сумму площадей "маленьких" треугольников:

$\displaystyle S_{EBF}+S_{FCG}+S_{HGD}+S_{AEH}=\\\\=\frac{S_1+S_2+4S_2+4S_3+S_3+S_4+4S_4+4S_1}{9}=\\\\=\frac{5(S_1+S_2+S_3+S_4)}{9}=\frac{5}{9}S$

6) Найдем площадь EFGH:

$\displaystyle S_{EFGH}=S-\frac{5}{9}S=\frac{4}{9}S$

7) Рассмотрим EFGH.

Из подобия треугольников следует:

EF || AC;  HG || AC;

FG || BD;  EH || BD.

• Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

⇒ EF || HG;   FG || EH ⇒ EFGH - параллелограмм.

• Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

$\displaystyle S_{EFG}=\frac{1}{2}S_{EFGH}=\frac{2S}{9}$

8) Найдем отношение:

$\displaystyle S_{ABCD}:S_{EFG}=S:\frac{2S}{9}=\frac{9}{2}=4,5$

Answer 2

Площадь четырёхугольника ABCd можно найти, разделив его на два треугольника прямыми BD и AC. Обозначим площадь треугольника ABCd через S1, а площадь треугольника Efg через S2. Так как площади треугольников ЕВСд, EFВ, и Еfg относятся как 2:1, то

S2 = S1 / 3.

Также известно, что

S1 = S(АВСd) = S(AЕСd) + S(AEB).

Так как АЕ:ЕВ = Сf:fВ = Сg:gd = 2:1, то площади треугольников AЕСd, AЕВ и EFВ также относятся как 2:1. Поэтому

S(AEB) = S(AЕСd) = S(EFВ) = S1 / 3.

Суммируя все результаты, получаем, что

S2 = S1 / 3 = S1 / (2 * 3) = S1 / 6.

Таким образом, площадь четырёхугольника ABCd больше площади треугольника Efg в 6 раз.