Question

знайти меншу сторону рівнобічної трапеції, діагональ якої перпендикулярна до бічної сторони і утворює з більшою основою кут, у двічі менший за кут при цій основі, а більша основа 10 см

Answer 1

При розв'язанні цього завдання, ми можемо скористатися властивостями рівнобічної трапеції та використати геометричні співвідношення.

Властивості рівнобічної трапеції:

- Бічні сторони рівнобічної трапеції мають однакову довжину. - Діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні до бічних сторін.

Завдання:

Знайти меншу сторону рівнобічної трапеції, діагональ якої перпендикулярна до бічної сторони і утворює з більшою основою кут, у двічі менший за кут при цій основі, а більша основа дорівнює 10 см.

Розв'язок:

Позначимо меншу сторону рівнобічної трапеції як x.

За властивостями рівнобічної трапеції, бічні сторони мають однакову довжину, тому менша сторона також дорівнює x.

За умовою, діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони і утворює з більшою основою кут, у двічі менший за кут при цій основі. Оскільки більша основа дорівнює 10 см, ми можемо позначити її довжину як 10.

За теоремою про косинуси, ми можемо встановити зв'язок між сторонами та кутами трикутника:

cos(2θ) = (x^2 + x^2 - 10^2) / (2x * x) = (2x^2 - 100) / (2x^2), де θ - кут при меншій основі.

Оскільки кут при більшій основі дорівнює 180° - 2θ, ми можемо записати:

cos(180° - 2θ) = (10^2 + x^2 - x^2) / (2 * 10 * x) = (100 + x^2) / (20x)

За умовою, кут при більшій основі у двічі більший за кут при меншій основі, тому:

cos(180° - 2θ) = 2 * cos(2θ)

Підставимо значення з попередніх рівнянь:

(100 + x^2) / (20x) = 2 * (2x^2 - 100) / (2x^2)

Спростимо рівняння:

(100 + x^2) / (20x) = (2x^2 - 100) / x^2

Перемножимо обидві частини рівняння на 20x * x^2 для скасування знаменників:

x^4 + 100x^2 = 40x^4 - 2000

Перенесемо всі члени в одну частину рівняння:

39x^4 - 100x^2 + 2000 = 0

Це квадратне рівняння зі змінною x^2. Розв'яжемо його, використовуючи квадратну формулу:

x^2 = (-(-100) ± √((-100)^2 - 4 * 39 * 2000)) / (2 * 39)

x^2 = (100 ± √(10000 - 312000)) / 78

x^2 = (100 ± √(-302000)) / 78

Так як дискримінант від'ємний, рівняння не має розв'язків у дійсних числах. Отже, неможливо знайти меншу сторону рівнобічної трапеції за заданими умовами.