Question

Периметр равнобедренного треугольника 108 см. основание 30 см.Найти а)площадь треугольника б)радиус вписанного круга в) радиус описанного круга г) наибольший угол треугольника С дано и рисунком пожалуйста.

Answer 1

Для решения задачи нам нужно использовать свойства равнобедренных треугольников и формулы для нахождения площади, радиусов вписанного и описанного кругов, а также углов треугольника.

1. Площадь треугольника (S): Площадь треугольника можно найти по формуле: \(S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\), где высота проходит из вершины треугольника к середине основания.

В равнобедренном треугольнике высота также является медианой и биссектрисой, поэтому она делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Пусть \(h\) - высота треугольника, тогда \(h^2 + \left(\frac{\text{основание}}{2}\right)^2 = \text{катет}^2\).

2. Радиус вписанного круга (r): Радиус вписанного круга можно найти по формуле: \(r = \frac{\text{площадь треугольника}}{\text{полупериметр треугольника}}\), где полупериметр равен \(\frac{\text{периметр}}{2}\).

3. Радиус описанного круга (R): Радиус описанного круга можно найти по формуле: \(R = \frac{\text{сторона треугольника}}{2 \times \sin(\frac{\text{угол}}{2})}\), где угол - наибольший угол треугольника.

4. Наибольший угол треугольника (C): В равнобедренном треугольнике наибольший угол лежит напротив наибольшей стороны. Мы можем использовать теорему косинусов: \(\cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\), где \(a\) и \(b\) - катеты, \(c\) - гипотенуза.

Теперь рассчитаем значения:

а) Площадь треугольника (S): \[ h^2 + \left(\frac{\text{основание}}{2}\right)^2 = \text{катет}^2 \] \[ h^2 + 15^2 = 27^2 \] \[ h^2 + 225 = 729 \] \[ h^2 = 504 \] \[ h = \sqrt{504} = 2\sqrt{126} \]

\[ S = \frac{1}{2} \times 30 \times 2\sqrt{126} = 30\sqrt{126} \]

б) Радиус вписанного круга (r): \[ \text{полупериметр} = \frac{108}{2} = 54 \] \[ r = \frac{30\sqrt{126}}{54} = \frac{5\sqrt{126}}{9} \]

в) Радиус описанного круга (R): \[ R = \frac{27}{2 \times \sin(C/2)} \] \[ C = \cos^{-1}\left(\frac{30^2 + 27^2 - 27^2}{2 \times 30 \times 27}\right) \] \[ R = \frac{27}{2 \times \sin(C/2)} \]

г) Наибольший угол треугольника (C): \[ C = \cos^{-1}\left(\frac{30^2 + 27^2 - 27^2}{2 \times 30 \times 27}\right) \]

Пожалуйста, обратите внимание, что значения могут быть упрощены с использованием калькулятора.