Question

У рівнобічній трапеції діагональ ділить її гострий кут навпіл. Обчисліть середню лінію трапеції, якщо її периметр дорівнює 27 см, а більша основа – 9 см. СРОЧНО!!!

Answer 1

Давайте позначимо дані трапеції:

- \( a \) - менша основа трапеції, - \( b \) - більша основа трапеції, - \( c \) - бічна сторона трапеції.

За умовою виразимо периметр трапеції:

\[ P = a + b + 2c = 27 \, \text{см} \]

Також, маємо те, що діагональ трапеції ділить гострий кут напіл навпіл. Це означає, що трикутник, утворений діагоналлю та бічною стороною трапеції, є прямокутним.

Застосуємо теорему Піфагора до цього трикутника:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Також, нам відомо, що більша основа \( b \) - менша основа \( a \) дорівнює 9 см.

Таким чином, ми отримали систему рівнянь:

\[ \begin{cases} a + b + 2c = 27 \\ b - a = 9 \\ c^2 = a^2 + b^2 \end{cases} \]

Вирішимо цю систему. Знаходимо \( a \) та \( b \) з другого рівняння:

\[ b = a + 9 \]

Підставимо це значення в перше рівняння:

\[ a + (a + 9) + 2c = 27 \]

\[ 2a + 9 + 2c = 27 \]

\[ 2a + 2c = 18 \]

\[ a + c = 9 \]

Тепер маємо два рівняння:

\[ \begin{cases} a + c = 9 \\ c^2 = a^2 + b^2 \end{cases} \]

Розв'яжемо їх. Підставимо \( a + 9 \) замість \( b \):

\[ c^2 = a^2 + (a + 9)^2 \]

Розкриємо дужки та спростимо:

\[ c^2 = a^2 + a^2 + 18a + 81 \]

\[ c^2 = 2a^2 + 18a + 81 \]

Тепер підставимо \( a + c = 9 \):

\[ c^2 = 2a^2 + 18a + 81 \]

\[ (9 - a)^2 = 2a^2 + 18a + 81 \]

\[ 81 - 18a + a^2 = 2a^2 + 18a + 81 \]

\[ a^2 - 20a = 0 \]

\[ a(a - 20) = 0 \]

Таким чином, маємо два можливі значення для \( a \): \( a = 0 \) або \( a = 20 \).

Якщо \( a = 0 \), то \( b = 9 \), що суперечить умові, що \( b \) повинно бути більше \( a \). Отже, \( a = 20 \).

Тепер можемо знайти значення для \( b \):

\[ b = a + 9 \]

\[ b = 20 + 9 = 29 \]

Також, можемо знайти значення для \( c \) за підставленням у третє рівняння:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

\[ c^2 = 20^2 + 29^2 \]

\[ c^2 = 400 + 841 \]

\[ c^2 = 1241 \]

Отже, \( c = \sqrt{1241} \).

Тепер можемо знайти середню лінію трапеції, яка рівна половині суми довжин основ:

\[ \text{Середня лінія} = \frac{a + b}{2} \]

\[ \text{Середня лінія} = \frac{20 + 29}{2} \]

\[ \text{Середня лінія} = \frac{49}{2} \]

\[ \text{Середня лінія} = 24.5 \]

Отже, середня лінія трапеції дорівнює 24.5 см.