Question

Дано трикутник АВС і площину a, яка не перетинає його. О -точка, перетину медіан трикутника. Через точки А, В, С, 0 проведено паралельні прямi, що перетинають площину в точках А1, В1, С1, O1 відповідно. Доведіть, що АА1 + BB1 + СС1 =300

Answer 1

Відповідь:

Для доведення рівності АА1 + BB1 + СС1 = 300, де A1, B1, і C1 - точки перетину медіан трикутника ABC з площиною α, можна скористатися властивостями медіан.

Розглянемо наступні твердження:

Медіани трикутника діляться своєю точкою перетину О у відношенні 2:1. Це означає, що довжина кожної медіани в 2 рази більше від відстані від О до точки перетину цієї медіани з площиною α. Тобто, АО1 = 2AО, ВО1 = 2BО, СО1 = 2CО.

Знаючи це, ми можемо записати АА1 + BB1 + СС1 так:

АА1 + BB1 + СС1 = 2AО + 2BО + 2CО = 2(AО + BО + CО).

Тепер нам потрібно звернути увагу на те, що сума відстаней від точки О до вершин трикутника ABC дорівнює половині периметра трикутника. Тобто, AО + BО + CО = (AB + BC + CA) / 2.

Отже, АА1 + BB1 + СС1 = 2(AО + BО + CО) = 2(AB + BC + CA) / 2 = AB + BC + CA.

Враховуючи, що AB + BC + CA дорівнює периметру трикутника ABC, ми отримуємо:

АА1 + BB1 + СС1 = Периметр трикутника ABC.

Зазвичай визначення трикутника говорить нам, що сума довжин сторін трикутника дорівнює його периметру.

Отже, АА1 + BB1 + СС1 дорівнює периметру трикутника ABC. Із цього випливає, що АА1 + BB1 + СС1 = 300, якщо периметр трикутника ABC дорівнює 300

Пояснення:

Answer 2

Для доведення рівності \(AA_1 + BB_1 + CC_1 = 300\) можна скористатися властивостями медіан та паралельних ліній.

Позначимо через \(M_A\), \(M_B\), \(M_C\) середини відповідних сторін трикутника \(ABC\). Точка \(O\) - точка перетину медіан трикутника \(ABC\), тобто \(O\) - центр мас трикутника.

Медіана ділить сторону трикутника на дві рівні частини. Тобто \(AM_A = M_AA\), \(BM_B = M_BB\) і \(CM_C = M_CC\). Також відомо, що точка \(O\) розділяє медіани у відношенні 2:1. Таким чином, \(AO = 2 \cdot M_AO\), \(BO = 2 \cdot M_BO\) і \(CO = 2 \cdot M_CO\).

Тепер проведемо паралельні прямі через точки \(A\), \(B\), \(C\), які перетинають площину в точках \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) відповідно.

З рівності сторін та властивості паралельних ліній отримуємо, що:

\[AA_1 = AO + O_1A_1 = 2 \cdot M_AO + O_1A_1\] \[BB_1 = BO + O_1B_1 = 2 \cdot M_BO + O_1B_1\] \[CC_1 = CO + O_1C_1 = 2 \cdot M_CO + O_1C_1\]

Тепер скористаємося тим, що сума відстаней від точки \(O\) до точок \(A\), \(B\), \(C\) дорівнює периметру трикутника \(ABC\):

\[AO + BO + CO = AA_1 + BB_1 + CC_1\]

Підставимо раніше отримані вирази:

\[2 \cdot (M_AO + M_BO + M_CO) + O_1A_1 + O_1B_1 + O_1C_1 = 2 \cdot (M_AO + M_BO + M_CO) + AA_1 + BB_1 + CC_1\]

Скасуємо спільні доданки з обох боків і отримаємо:

\[O_1A_1 + O_1B_1 + O_1C_1 = AA_1 + BB_1 + CC_1\]

Однаково, знаючи, що сума відстаней від точки \(O_1\) до точок \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) дорівнює периметру трикутника \(A_1B_1C_1\), тобто \(O_1A_1 + O_1B_1 + O_1C_1 = 300\).

Отже, ми довели, що \(AA_1 + BB_1 + CC_1 = 300\).