Question

Нормаль до площини складає з координатними осями OY і OZ кути β=60°,γ=45°, а з віссю OX - тупий кут. Скласти рівняння площини за умови, що відстань p від початку координат до її дорівнює 8 одиницям. Знайти відстань від точки A(1;-1;3√2) до побудованої площини.

Answer 1

Давайте позначимо точку A(1, -1, 3√2) координатами (x₁, y₁, z₁). Вектор нормалі площини можна отримати, використовуючи дані кути β і γ. Нормаль площини (n) буде мати координати (sin β, cos β * sin γ, cos β * cos γ).

У вас дано β = 60° і γ = 45°, тому відповідні координати нормалі n будуть:

\[n = (\sin 60°, \cos 60° \cdot \sin 45°, \cos 60° \cdot \cos 45°).\]

Обчислимо це:

\[n = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right).\]

Тепер ми маємо вектор нормалі площини n = \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\).

Рівняння площини в просторі з точкою (x₀, y₀, z₀) і нормаллю n має вигляд:

\[n \cdot (x - x₀, y - y₀, z - z₀) = 0.\]

Позначимо точку на площині за (x, y, z) і підставимо значення:

\[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot (x - 0, y - 0, z - 0) = 0.\]

Спростимо вираз:

\[\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}z = 0.\]

Тепер, знаючи рівняння площини, можемо визначити відстань p від точки до площини за формулою:

\[p = \frac{\left|\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (-1) + \frac{1}{2} \cdot (3\sqrt{2})\right|}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}}.\]

Обчислімо чисельник:

\[p = \frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}{\sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}}.\]

\[p = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}}.\]

Тепер, якщо ми хочемо визначити відстань від точки A до площини, ми можемо використати формулу відстані між точкою і площиною:

\[d = \frac{\left|\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (-1) + \frac{1}{2} \cdot (3\sqrt{2})\right|}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}}.\]

Підставимо значення:

\[d = \frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}{\sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}}.\]

\[d = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}}.\]

Отже, відстань від точки A до площини дорівнює \(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\), що можна спростити до \(\frac{3\sqrt{10}}{5}\).