Question

Знайдіть найбільшу висоту вписаного кола для трикутника зі сторонами 4,13 і 15​

Answer 1

Для нахождения радиуса вписанного круга в треугольник, известными формулами являются:

\[ r = \frac{A}{s}, \]

где \( A \) - площадь треугольника, а \( s \) - полупериметр треугольника (сумма всех сторон, делённая на 2).

Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:

\[ A = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}, \]

где \( a, b, c \) - длины сторон треугольника, а \( s \) - полупериметр.

В вашем случае треугольник с сторонами \( a = 4, b = 13, c = 15 \).

1. Найдем полупериметр \( s \):

\[ s = \frac{a + b + c}{2} \]

\[ s = \frac{4 + 13 + 15}{2} \]

\[ s = \frac{32}{2} \]

\[ s = 16 \]

2. Теперь найдем площадь \( A \) по формуле Герона:

\[ A = \sqrt{16 \cdot (16 - 4) \cdot (16 - 13) \cdot (16 - 15)} \]

\[ A = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} \]

\[ A = \sqrt{16 \cdot 36} \]

\[ A = \sqrt{576} \]

\[ A = 24 \]

3. Наконец, найдем радиус вписанного круга:

\[ r = \frac{A}{s} \]

\[ r = \frac{24}{16} \]

\[ r = \frac{3}{2} \]

Таким образом, радиус вписанного круга для треугольника со сторонами 4, 13 и 15 равен \(\frac{3}{2}\), а высота круга будет удвоенной длиной радиуса:

\[ 2r = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3. \]

Таким образом, наибольшая высота вписанного круга для данного треугольника составляет 3.