Question

1. Обчисліть: 1) sin 120°; 2) cos 135°. 2. Знайдіть довжину відрізка АВ та координати його се редини, якщо А(5; 8), В(0;-4). 3. Знайдіть точки перетину прямої 6х-5у+30=0 з осями координат. 4. Побудуйте на координатній площині фігуру, задану рів- нянням (х-2)корень2 + (y +1)корень2 = 16. 5. Складіть рівняння кола, центр якого знаходиться в точці 0(5; -2) і яке дотикається до прямої х=8. 6. ABCD паралелограм. Знайдіть координати вершини D, якщо А(3;5), В(4; 2), С(5;5). Чи е ABCD ромбом? 7. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку К(-2;4) паралельно прямій 9х+3y-11 = 0.

Answer 1

1. Обчислімо значення sin(120°) за допомогою формули синусу трійкутника: sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°)

Знаємо, що sin(60°) = √3/2.

2. Обчислимо значення cos(135°) за допомогою формули косинусу трійкутника: cos(135°) = cos(180° - 45°) = -cos(45°)

Знаємо, що cos(45°) = √2/2, тому -cos(45°) = -√2/2.

3. Знайдемо довжину відрізка АВ за допомогою формули відстані між двома точками: d(АВ) = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²] d(АВ) = √[(0 - 5)² + (-4 - 8)²] d(АВ) = √[(-5)² + (-12)²] d(АВ) = √[25 + 144] d(АВ) = √169 d(АВ) = 13

Координати середини відрізка АВ можна знайти за формулами: xс = (x1 + x2) / 2 xс = (5 + 0) / 2 xс = 2.5

yс = (y1 + y2) / 2 yс = (8 + (-4)) / 2 yс = 2

Таким чином, координати середини відрізка АВ є (2.5, 2).

4. Побудуємо фігуру, задану рівнянням (х-2)√2 + (y+1)√2 = 16. Для цього можна розглянути рівняння вже упрощеною формі: (х-2) + (y+1) = 8

Це рівняння задає пряму. Знайдемо координати її точок перетину з осями координат шляхом підстановки: При x = 0: (0-2) + (y+1) = 8 -2 + y + 1 = 8 y = 8 - 1 + 2 y = 9

при y = 0: (x-2) + (0+1) = 8 x - 2 + 1 = 8 x = 8 - 1 + 2 x = 9

Отже, точки перетину прямої з осями координат є (9, 0) та (0, 9).

5. Центр кола знаходиться в точці О(5, -2). Для того, щоб коло дотикалося до прямої x = 8, відстань від центру кола до прямої повинна дорівнювати радіусу кола.

Відстань між точкою (х0, y0) та прямою Ax + By + C = 0 визначається за формулою: d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)

У нашому випадку, рівняння прямої x = 8 можна переписати у вигляді 1x - 0y - 8 = 0.

Тоді, відстань від точки О(5, -2) до прямої x = 8 дорівнює: d = |1*5 + (-2)*0 + (-8)| / √(1^2 + (-2)^2) d = |5 - 8| / √(1 + 4) d = |-3| / √5 d = 3 / √5

Отже, радіус кола дорівнює 3 / √5, а рівняння кола з центром в точці О(5, -2) має вигляд: (x - 5)^2 + (y + 2)^2 = (3 / √5)^2

6. Щоб знайти координати вершини d паралелограма abcd, варто взяти суму координат точок b та c і відняти координати точки a: xd = xb + xc - xa yd = yb + yc - ya

В нашому випадку: xd = 4 + 5 - 3 = 6 yd = 2 + 5 - 5 = 2

Таким чином, координати точки d є (6, 2).

Щодо того, чи є abcd ромбом, для цього треба перевірити, чи виконуються умови рівностороннього чотирикутника. А саме, чи дорівнюють усі сторони abcd та чи перпендикулярні їм діагоналі.

7. Щоб скласти рівняння прямої, яка проходить через точку К(-2, 4) і паралельна прямій 9x + 3y - 11 = 0, треба врахувати той факт, що паралельні прямі мають однаковий коефіцієнт пропорційності між x та y.

Отже, нове рівняння матиме вигляд: 9x + 3y + C = 0

Підставимо координати точки К(-2, 4) та знайдемо константу C: 9*(-2) + 3*4 + C = 0 -18 + 12 + C = 0 C = 6

Отже, рівняння прямої, яка проходить через точку К(-2, 4) і паралельна прямій 9x + 3y - 11 = 0, є: 9x + 3y + 6 = 0