Question

Точки F, K, M i E - середини сторін АВ, ВС, СD і DA опуклого чотирикутника ABCD відповідно. Відомо, що периметр чотирикутника FKME дорівнює 80 см, FM перепенидикулярно KE. Знайдіть діагоналі АС і BD чотирикутника ABCD.

Answer 1

Давайте позначимо точки наступним чином:

- \( F \) - середина сторони \( AB \) - \( K \) - середина сторони \( BC \) - \( M \) - середина сторони \( CD \) - \( E \) - середина сторони \( DA \)

Також відомо, що:

- Периметр чотирикутника \( ABCD \) дорівнює 80 см. - \( FM \) перпендикулярно \( KE \).

Маємо чотири рівновеликі частини периметру чотирикутника:

\[ AF + FK + KE + EA = AB + BC + CD + DA = 80 \, \text{см} \]

Оскільки \( F \), \( K \), \( M \), \( E \) - середини сторін чотирикутника, то можна припустити, що вектор \( \overrightarrow{AF} \) рівний за модулем вектору \( \overrightarrow{FB} \), вектор \( \overrightarrow{BK} \) рівний за модулем вектору \( \overrightarrow{KC} \), і так далі.

Отже, можна записати, що:

\[ AF = FB, \quad FK = KC, \quad KE = ED, \quad EA = AD \]

Отже, виразимо всі сторони через одну сторону, наприклад, \( AF \):

\[ AB = 2AF, \quad BC = 2FK, \quad CD = 2KE, \quad DA = 2EA \]

Підставимо це у рівняння для периметру:

\[ 2AF + 2FK + 2KE + 2EA = 80 \, \text{см} \]

Спростимо рівняння:

\[ AF + FK + KE + EA = 40 \, \text{см} \]

Тепер ми знаємо, що сума довжин чотирьох відрізків \( AF \), \( FK \), \( KE \) і \( EA \) дорівнює 40 см.

Ми також знаємо, що \( FM \) перпендикулярно \( KE \). Оскільки \( F \), \( K \), \( M \), \( E \) - середини сторін чотирикутника, то \( FM \) - медіана, і вона ділить відрізок \( KE \) пополам.

Таким чином, \( FM = \frac{1}{2} KE \). Позначимо \( KE = x \). Тоді \( FM = \frac{1}{2} x \).

Тепер ми можемо виразити довжини інших сторін через \( x \):

\[ FK = x, \quad AF = 20 - x, \quad EA = x, \quad KE = x \]

Знаючи довжини сторін чотирикутника, можемо знайти діагоналі \( AC \) і \( BD \). Діагоналі можна знайти за формулами:

\[ AC = \sqrt{AF^2 + FC^2}, \quad BD = \sqrt{FB^2 + FC^2} \]

Підставимо значення:

\[ AC = \sqrt{(20 - x)^2 + x^2}, \quad BD = \sqrt{x^2 + x^2} \]

Спростимо вирази:

\[ AC = \sqrt{400 - 40x + 2x^2 + x^2}, \quad BD = \sqrt{2x^2 + x^2} \]

\[ AC = \sqrt{3x^2 - 40x + 400}, \quad BD = \sqrt{3x^2} \]

\[ AC = \sqrt{3} \sqrt{x^2 - \frac{40}{3}x + \frac{400}{3}}, \quad BD = \sqrt{3} \cdot x \]

Таким чином, діагоналі чотирикутника \( ABCD \) виражаються формулою:

\[ AC = \sqrt{3} \sqrt{x^2 - \frac{40}{3}x + \frac{400}{3}}, \quad BD = \sqrt{3} \cdot x \]