Question

Даны три точки в пространстве A(-8;-1;1), B(-3;-3;-6),С(3t;-2t;4t). Найти значение t, если векторы AB и BC перпендикулярны

Answer 1

Ответ:

Для того чтобы векторы AB и BC были перпендикулярными, их скалярное произведение должно равняться нулю. То есть:

AB · BC = 0

Давайте вычислим скалярное произведение этих векторов:

AB = B - A = (-3, -3, -6) - (-8, -1, 1) = (5, -2, -7)

BC = C - B = (3t, -2t, 4t) - (-3, -3, -6) = (3t + 3, -2t + 3, 4t + 6)

Тепер найдем скалярное произведение:

AB · BC = (5, -2, -7) · (3t + 3, -2t + 3, 4t + 6)

AB · BC = 5(3t + 3) - 2(-2t + 3) - 7(4t + 6)

AB · BC = 15t + 15 + 4t - 6 - 28t - 42

AB · BC = (15t + 4t - 28t) + (15 - 6 - 42)

AB · BC = -9t - 33

Тепер установим условие AB · BC = 0, так как векторы AB и BC перпендикулярны:

-9t - 33 = 0

-9t = 33

t = -33 / -9

t = 11/3

Таким образом, значение t равно 11/3.

Объяснение:

Answer 2

Чтобы векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{BC} \) были перпендикулярными, их скалярное произведение должно равняться нулю. Скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{BC} \) можно выразить следующим образом:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (B - A) \cdot (C - B) = 0 \]

Сначала найдем векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{BC} \) по координатам данных точек.

1. Вектор \( \vec{AB} \): \[ \vec{AB} = B - A = (-3 + 8, -3 + 1, -6 - 1) = (5, -2, -7) \]

2. Вектор \( \vec{BC} \): \[ \vec{BC} = C - B = (3t + 3, -2t + 3, 4t + 6) - (-3, -3, -6) = (3t + 6, -2t + 6, 4t + 12) \]

Теперь вычислим скалярное произведение векторов и приравняем его к нулю:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (5, -2, -7) \cdot (3t + 6, -2t + 6, 4t + 12) \]

\[ 5(3t + 6) + (-2)(-2t + 6) + (-7)(4t + 12) = 0 \]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[ 15t + 30 + 4t - 12 - 28t - 84 = 0 \]

Собираем все члены с \( t \) в одну сторону, а числовые значения в другую:

\[ -9t - 66 = 0 \]

\[ -9t = 66 \]

\[ t = -\frac{22}{3} \]

Таким образом, значение \( t \), при котором векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{BC} \) перпендикулярны, равно \( -\frac{22}{3} \).