Question

2. Дан параллелограмм АВСД. Точка К лежит на стороне СД, так что ДК=КС, точка Е лежит на стороне ВС, так что ВЕ:EC=2:3. Выразите векторы АЕ, АК и АС через АВ-а и АД=в. ​

Answer 1

Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться свойствами параллелограмма и использовать пропорции.

Пусть \(\overrightarrow{AB} = \mathbf{a}\) и \(\overrightarrow{AD} = \mathbf{d}\) - векторы сторон параллелограмма.

Так как \(\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}\) (вектор, обратный \(\overrightarrow{AB}\) идет от конца \(\overrightarrow{AB}\) к началу), то \(\overrightarrow{CD} = -\mathbf{a}\).

Также, так как \(DK = KC\), то вектор \(\overrightarrow{DK}\) равен по модулю и противоположен вектору \(\overrightarrow{KC}\). Таким образом, \(\overrightarrow{DK} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{CD} = \frac{1}{2}\mathbf{a}\). Тогда вектор \(\overrightarrow{CK}\) равен \(\frac{1}{2}\mathbf{a}\).

Теперь, так как \(BE:EC = 2:3\), то вектор \(\overrightarrow{BE}\) равен \(\frac{2}{5}\) от вектора \(\overrightarrow{BC}\), и вектор \(\overrightarrow{EC}\) равен \(\frac{3}{5}\) от вектора \(\overrightarrow{BC}\). Так как \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB}\), то:

\[ \overrightarrow{BC} = -\mathbf{a} + \mathbf{b} \]

Тогда:

\[ \overrightarrow{BE} = \frac{2}{5}(-\mathbf{a} + \mathbf{b}) = -\frac{2}{5}\mathbf{a} + \frac{2}{5}\mathbf{b} \]

\[ \overrightarrow{EC} = \frac{3}{5}(-\mathbf{a} + \mathbf{b}) = -\frac{3}{5}\mathbf{a} + \frac{3}{5}\mathbf{b} \]

Теперь мы можем выразить векторы \(\overrightarrow{AE}\), \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{AC}\) через \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{d}\):

\[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \mathbf{a} - \frac{2}{5}\mathbf{a} + \frac{2}{5}\mathbf{b} = \frac{3}{5}\mathbf{a} + \frac{2}{5}\mathbf{b} \]

\[ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DK} = \mathbf{d} + \frac{1}{2}\mathbf{a} \]

\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EC} = \frac{3}{5}\mathbf{a} + \frac{2}{5}\mathbf{b} - \frac{3}{5}\mathbf{a} + \frac{3}{5}\mathbf{b} = \frac{2}{5}\mathbf{a} + \frac{5}{5}\mathbf{b} = \frac{2}{5}\mathbf{a} + \mathbf{b} \]

Таким образом, мы выразили векторы \(\overrightarrow{AE}\), \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{AC}\) через \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{d}\).