Question

3.Довести: соs (90-А)*sin(180-A)=sin2A tgA *cоsA+sinA=2sinA 4.Знайти: cosA i tgA , якщо А - гострий кут ( 0 ОЧЕНЬ СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ

Answer 1

Ответ:

Доведемо дані тотожності:

Для першої тотожності:

\cos(90^\circ - A) \cdot \sin(180^\circ - A) = \sin(2A)cos(90

∘

−A)⋅sin(180

∘

−A)=sin(2A)

Спочатку перетворимо ліву частину виразу використовуючи тригонометричні ідентичності:

\cos(90^\circ - A) = \sin(A)cos(90

∘

−A)=sin(A) (це ідентичність для співмірного кута)

\sin(180^\circ - A) = \sin(A)sin(180

∘

−A)=sin(A) (це ідентичність для суми кутів)

Отже, ліва частина стає:

\sin(A) \cdot \sin(A)sin(A)⋅sin(A)

Розглянемо праву частину:

\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)sin(2A)=2sin(A)cos(A) (це формула для подвоєного кута)

Отже, права частина стає:

2\sin(A)\cos(A)2sin(A)cos(A)

Тепер порівнюючи ліву та праву частини:

\sin(A) \cdot \sin(A) = 2\sin(A)\cos(A)sin(A)⋅sin(A)=2sin(A)cos(A)

Для другої тотожності:

\tan(A) \cdot \cos(A) + \sin(A) = 2\sin(A)tan(A)⋅cos(A)+sin(A)=2sin(A)

Виразимо \sin(A)sin(A) через \tan(A)tan(A) та \cos(A)cos(A) з використанням тригонометричної ідентичності:

\sin(A) = \frac{\tan(A)}{\sec(A)}sin(A)=

sec(A)

tan(A)

​

Отже, ліва частина стає:

\tan(A) \cdot \cos(A) + \frac{\tan(A)}{\sec(A)}tan(A)⋅cos(A)+

sec(A)

tan(A)

​

Тепер спростимо це вираз:

\tan(A) \cdot \cos(A) + \frac{\tan(A)}{\sec(A)} = \tan(A) \cdot \cos(A) + \tan(A) \cdot \cos(A) = 2\tan(A) \cdot \cos(A)tan(A)⋅cos(A)+

sec(A)

tan(A)

​

=tan(A)⋅cos(A)+tan(A)⋅cos(A)=2tan(A)⋅cos(A)

Отже, друга тотожність доведена.

Щоб знайти \cos(A)cos(A) та \tan(A)tan(A), де AA - гострий кут (0 < A < 90), використаємо значення тригонометричних функцій для правокутного трикутника:

З позначеннями:

AA - гострий кут

BB - прямий кут (90 градусів)

CC - гострий кут

aa - протилежна сторона до кута AA

bb - протилежна сторона до кута BB

cc - гіпотенуза

Знаємо, що \sin(A) = \frac{a}{c}sin(A)=

c

a

​

 та \cos(A) = \frac{b}{c}cos(A)=

c

b

​

. Також \tan(A) = \frac{a}{b}tan(A)=

b

a

​

.

Для гострого кута AA, значення \sin(A)sin(A) буде додатним, а \cos(A)cos(A) та \tan(A)tan(A) будуть додатними.

Отже, для гострого кута AA, \cos(A) > 0cos(A)>0 та (\tan(A) > 0).Доведемо дані тотожності:

Для першої тотожності:

\cos(90^\circ - A) \cdot \sin(180^\circ - A) = \sin(2A)cos(90

∘

−A)⋅sin(180

∘

−A)=sin(2A)

Спочатку перетворимо ліву частину виразу використовуючи тригонометричні ідентичності:

\cos(90^\circ - A) = \sin(A)cos(90

∘

−A)=sin(A) (це ідентичність для співмірного кута)

\sin(180^\circ - A) = \sin(A)sin(180

∘

−A)=sin(A) (це ідентичність для суми кутів)

Отже, ліва частина стає:

\sin(A) \cdot \sin(A)sin(A)⋅sin(A)

Розглянемо праву частину:

\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)sin(2A)=2sin(A)cos(A) (це формула для подвоєного кута)

Отже, права частина стає:

2\sin(A)\cos(A)2sin(A)cos(A)

Тепер порівнюючи ліву та праву частини:

\sin(A) \cdot \sin(A) = 2\sin(A)\cos(A)sin(A)⋅sin(A)=2sin(A)cos(A)

Для другої тотожності:

\tan(A) \cdot \cos(A) + \sin(A) = 2\sin(A)tan(A)⋅cos(A)+sin(A)=2sin(A)

Виразимо \sin(A)sin(A) через \tan(A)tan(A) та \cos(A)cos(A) з використанням тригонометричної ідентичності:

\sin(A) = \frac{\tan(A)}{\sec(A)}sin(A)=

sec(A)

tan(A)

​

Отже, ліва частина стає:

\tan(A) \cdot \cos(A) + \frac{\tan(A)}{\sec(A)}tan(A)⋅cos(A)+

sec(A)

tan(A)

​

Тепер спростимо це вираз:

\tan(A) \cdot \cos(A) + \frac{\tan(A)}{\sec(A)} = \tan(A) \cdot \cos(A) + \tan(A) \cdot \cos(A) = 2\tan(A) \cdot \cos(A)tan(A)⋅cos(A)+

sec(A)

tan(A)

​

=tan(A)⋅cos(A)+tan(A)⋅cos(A)=2tan(A)⋅cos(A)

Отже, друга тотожність доведена.

Щоб знайти \cos(A)cos(A) та \tan(A)tan(A), де AA - гострий кут (0 < A < 90), використаємо значення тригонометричних функцій для правокутного трикутника:

З позначеннями:

AA - гострий кут

BB - прямий кут (90 градусів)

CC - гострий кут

aa - протилежна сторона до кута AA

bb - протилежна сторона до кута BB

cc - гіпотенуза

Знаємо, що \sin(A) = \frac{a}{c}sin(A)=

c

a

​

 та \cos(A) = \frac{b}{c}cos(A)=

c

b

​

. Також \tan(A) = \frac{a}{b}tan(A)=

b

a

​

.

Для гострого кута AA, значення \sin(A)sin(A) буде додатним, а \cos(A)cos(A) та \tan(A)tan(A) будуть додатними.

Отже, для гострого кута AA, \cos(A) > 0cos(A)>0 та (\tan(A) > 0).

Объяснение:

Answer 2

3. Для доказательства данного выражения выведите и преобразуйте каждую сторону отдельно:

Сначала заметим, что sin(180 - a) = sin(a), так как sin(x) = sin(180 - x) для любого угла x. Теперь введем обозначение b = 180 - a. Тогда у нас получится: cos(b) = cos(180 - a) = -cos(a).

Теперь рассмотрим левую сторону: cos(90 - A) * sin(180 - a) = sin(A) * sin(a) (так как cos(90 - A) = sin(A) и sin(180 - a) = sin(a))

Правая сторона: sin(2a)

Теперь сравним левую и правую стороны: sin(A) * sin(a) = sin(2a) Применим формулу двойного угла: sin(2a) = 2 * sin(a) * cos(a)

тогда получаем: sin(A) * sin(a) = 2 * sin(a) * cos(a)

Мы видим, что левая и правая стороны выражения равны друг другу, следовательно, утверждение доказано.

4. Для того чтобы найти значение выражения cos(a) + i * tan(a), где A - гострий кут (0 < A < 90), воспользуемся определениями функций:

cos(a) = adjacent/hypotenuse tan(a) = opposite/adjacent

Для гострого угла A извлекаем прямоугольный треугольник, где угол A является острым углом, adjacent (прилегающий катет) будет положительным числом, opposite (противоположный катет) будет отрицательным числом, а hypotenuse (гипотенуза) будет положительным числом.

Следовательно, у нас будет: adjacent > 0, opposite < 0, hypotenuse > 0.

Теперь найдем значения функций cos(a) и tan(a):

cos(a) = adjacent/hypotenuse Мы знаем, что adjacent > 0 и hypotenuse > 0, поэтому cos(a) будет положительным числом.

tan(a) = opposite/adjacent Мы знаем, что opposite < 0 и adjacent > 0, поэтому tan(a) будет отрицательным числом.

Таким образом, значение выражения cos(a) + i * tan(a) будет состоять из положительного числа вещественной части и отрицательного числа мнимой части.