Question

81. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках A(2; -5), B(-7; 0), C(-6; 1), D(3; -4) - паралелограм. ​

Answer 1

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є паралелограмом, ми повинні показати, що протилежні сторони цього чотирикутника паралельні. Це можна зробити, порівнюючи нахил (коефіцієнти наклона) відповідних сторін.

Спершу знайдемо нахили сторін AB та CD:

AB:
- Координати точки A(2, -5)
- Координати точки B(-7, 0)

Нахил AB = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (0 - (-5)) / (-7 - 2) = 5 / -9 = -5/9

CD:
- Координати точки C(-6, 1)
- Координати точки D(3, -4)

Нахил CD = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-4 - 1) / (3 - (-6)) = -5 / 9 = -5/9

Як ми бачимо, нахили сторін AB та CD однакові і дорівнюють -5/9, отже, сторони AB і CD паралельні.

Тепер знайдемо нахили сторін BC та DA:

BC:
- Координати точки B(-7, 0)
- Координати точки C(-6, 1)

Нахил BC = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - 0) / (-6 - (-7)) = 1 / 1 = 1

DA:
- Координати точки D(3, -4)
- Координати точки A(2, -5)

Нахил DA = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-5 - (-4)) / (2 - 3) = (-1) / (-1) = 1

Як ми бачимо, нахили сторін BC та DA однакові і дорівнюють 1, отже, сторони BC і DA паралельні.

Отже, ми показали, що протилежні сторони AB і CD, а також BC і DA паралельні, що підтверджує, що чотирикутник ABCD є паралелограмом.

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD - параллелограмм, нужно проверить два условия:

1. Противоположные стороны четырехугольника параллельны. 2. Диагонали четырехугольника делятся пополам.

Проверим выполнение каждого из этих условий:

1. Параллельность противоположных сторон: Методом вычисления коэффициентов наклона отрезков AB и CD можно убедиться, что они равны: Коэффициент наклона отрезка AB: (0 - (-5)) / (-7 - 2) = 5 / -9 = -5/9 Коэффициент наклона отрезка CD: (-4 - 1) / (3 - (-6)) = -5 / 9 Таким образом, отрезки AB и CD имеют одинаковый наклон, что означает их параллельность.

Также можно обратить внимание на то, что координаты точек A, B, C, D удовлетворяют следующему соотношению: x(А) + x(C) = 2 + (-6) = -4 x(В) + x(D) = -7 + 3 = -4 Если сумма x-координат вершин противоположных сторон равна, то это говорит о том, что эти стороны параллельны.

2. Диагонали делятся пополам: Для этого можно вычислить координаты середины каждой из диагоналей и проверить их равенство. Координаты середины диагонали AC: x = (2 + (-6)) / 2 = -2 / 2 = -1 y = ((-5) + 1) / 2 = -4 / 2 = -2 Середина диагонали AC имеет координаты (-1, -2).

Координаты середины диагонали BD: x = (-7 + 3) / 2 = -4 / 2 = -2 y = (0 + (-4)) / 2 = -4 / 2 = -2 Середина диагонали BD также имеет координаты (-2, -2).

Таким образом, середины диагоналей AC и BD совпадают, что подтверждает, что диагонали делятся пополам.

Таким образом, выполняются оба условия параллелограмма: противоположные стороны параллельны и диагонали делятся пополам. Следовательно, четырехугольник ABCD - параллелограмм.