Question

Бісектриса кута А прямокутника ABCD перетинає більшу сторону ВС у точці К причому ВК: КС-4 : 3. Знайдіть сторони прямокутника, якщо периметр дорівнює 22 см​

Answer 1

Нехай сторони прямокутника ABCD дорівнюють "a" і "b" см, де "a" - більша сторона, "b" - менша сторона.

За умовою, бісектриса кута А ділить більшу сторону ВС у відношенні 4:3. Тобто, VK = 4x і KC = 3x, де x - це спільний множник.

Отже, a можна представити як суму VK і KC:
a = VK + KC = 4x + 3x = 7x

Периметр прямокутника дорівнює 22 см, отже:
2a + 2b = 22

Підставимо a = 7x у це рівняння:
2(7x) + 2b = 22

Розділімо обидві сторони на 2:
7x + b = 11

Тепер у нас є система двох рівнянь:
1. 7x + b = 11
2. 7x = a

Ми можемо розв'язати цю систему. Спершу визначимо значення x з першого рівняння:
7x + b = 11
7x = 11 - b
x = (11 - b) / 7

Тепер підставимо це значення в друге рівняння:
7x = a
7[(11 - b) / 7] = a
11 - b = a

Тепер ми маємо два рівняння:
1. 7x + b = 11
2. 11 - b = a

Знайдемо значення x з першого рівняння:
7x + b = 11
7x = 11 - b
x = (11 - b) / 7

Тепер підставимо це значення в друге рівняння:
11 - b = a

Тепер можемо розв'язати ці два рівняння для a і b:
1. 7x + b = 11
7[(11 - b) / 7] + b = 11
11 - b + b = 11
11 = 11

Отже, це перевірка підтверджує, що наші рівняння вірні. Тепер знаємо, що a = 11 - b.

Повернемося до другого рівняння:
11 - b = a

Замінимо a на 7x:
11 - b = 7x

Тепер замінимо x на (11 - b) / 7:
11 - b = 7[(11 - b) / 7]

Спростимо:
11 - b = 11 - b

Отже, наше рівняння підтверджується.

Отже, сторони прямокутника можуть бути будь-якими значеннями, де "a" дорівнює 11 - b, і це може бути будь-який пара чисел (a, b), де a і b задовольняють це рівняння і умову периметра 2a + 2b = 22.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі про бісектрису кута прямокутника ABCD, яка перетинає більшу сторону BC у точці K, нам потрібно використовувати співвідношення між сторонами прямокутника та точкою перетину бісектриси.

Зауважимо, що бісектриса кута прямокутника є медіаною і опускається на вершину прямокутника (позначимо цю вершину як A). Таким чином, ми маємо правокутний трикутник ABK, де BK є половиною більшої сторони BC. За властивостями бісектриси в правокутному трикутнику ми можемо сформулювати таке співвідношення:

BK / KC = AB / AC

Ми знаємо, що BK / KC = 4 / 3 (задано в умові), і ми маємо AB = AC, оскільки прямокутник має протилежні сторони рівні.

Тепер ми можемо використовувати це співвідношення, щоб знайти відношення між AB та BC:

4 / 3 = AB / AC

4 / 3 = AB / AB (оскільки AB = AC)

4 / 3 = 1

Це очевидно невірне, тому нам потрібно переформулювати рівняння. Давайте позначимо AB як x, а потім знайдемо BC:

4 / 3 = x / x

Тепер ми можемо спростити рівняння:

4 / 3 = 1

Це також невірне рівняння. Це означає, що умови задачі суперечать одна одній. Відношення 4:3 не може відповідати правокутному трикутнику, де AB і AC рівні. Тому не існує правокутного прямокутника, який задовольняє умови задачі з периметром 22 см та вказаним відношенням бісектриси до більшої сторони BC.