Question

3. В окружности с центром в точке О к хорде SF, равной радиусу окружности, перпендикулярно проведен диаметр HL. Диаметр HL и хорда SF пересекаются в точке M. Длина отрезка SM равна 8,2 см. a) постройте рисунок по условию задачи; b) определите длину хорды SF; c) определите длину диаметра HL; d) найдите периметр треугольника ОSF

Answer 1

a)

В единственной картинке.

b)

Так как хорда SF — равна радиусу, то треугольник OFS, образованный двумя радиусами и хордой SF — правильный.

То есть: $OF \equiv FS \equiv OS.$

HL — диаметр, перпендикулярный хорде SF, то есть: OM ⊥ SF.

То есть отрезок OM — высота, проведённая к основанию, а в правильном треугольнике, высота, биссектриса и медиана, проведённые к основанию — одно и то же.

То есть OM — медиана, что и означает, что:

$FM \equiv MS = FS/2;\\MS = 8.2 => FS = 8.2*2 = 16.4cm.$

Вывод: FS = 16.4см.

c)

Так как OM — высота треугольника OFS, проведённая к основанию, то треугольники OFM & OSM — прямоугольные, так как каждый из них имеет прямой угол (<OMF; <OMS).

OF — гипотенуза, FM — катет, чтобы найти второй катет, то есть OM, используем теорему Пифагора:

$\displaystyle\\b = \sqrt{c^2-a^2}\\\\OM = \sqrt{OF^2-FM^2}\\\\OF = 16.4; FM = 8.2 \Rightarrow\\\\OM = \sqrt{16.4^2-8.2^2}\\OM = \sqrt{201.72} = 14.2cm.$

Диаметр равен половине отрезка OM, то есть: $D = 14.2*2 = 28.4cm.$

Вывод: Диаметр HL равен 28.4см.

d)

Как я говорила ранее — треугольник OSF — правильный, то есть все стороны равны, то есть:

$P = 3a \Rightarrow\\P = 3*16.4 = 49.2cm.$

Вывод: Периметр треугольника OSF равен 49.2см.

Answer 2

a) Давайте начнем с построения рисунка. У нас есть окружность с центром в точке O и радиусом R. Через центр окружности O проведен диаметр HL, и перпендикулярно ему проведена хорда SF. Длина отрезка SM равна 8,2 см.

Сначала нарисуем окружность с центром O и радиусом R, а затем проведем диаметр HL, пересекающий окружность в точках H и L. Затем проведем хорду SF, перпендикулярно диаметру HL, и точка пересечения хорды и диаметра обозначена как M.

          O
         / \
        /   \
       /     \
      /       \
     H---------L
    /           \
   /             \
  S---------------F
                   |
                   M

b) Чтобы определить длину хорды SF, нам нужно использовать теорему о хордах. Так как SM является высотой треугольника OSF (поскольку перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности), то SM можно рассматривать как высоту треугольника OSF. Тогда длина хорды SF равна удвоенной площади треугольника OSF, деленной на длину отрезка SM:

Длина хорды SF = 2 * Площадь треугольника OSF / SM

Теперь нам нужно найти площадь треугольника OSF. Она равна половине произведения длины хорды и высоты:

Площадь треугольника OSF = (SF * SM) / 2

Теперь мы можем выразить длину хорды SF:

Длина хорды SF = 2 * [(SF * SM) / 2] / SM = SF

С учетом данного в условии, что SM = 8,2 см, длина хорды SF равна 8,2 см.

c) Для определения длины диаметра HL нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора, так как треугольник SHL является прямоугольным. Мы уже знаем, что длина отрезка SM равна 8,2 см, и мы только что определили, что длина хорды SF равна 8,2 см. Таким образом, треугольник SHL является равнобедренным, и длина HS равна HL:

HS = HL = 8,2 см.

d) Теперь мы можем найти периметр треугольника OSF. Мы уже знаем, что длина хорды SF равна 8,2 см. Для нахождения длины отрезка OS, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике OSF:

OS^2 = SF^2 - SM^2 OS^2 = (8,2 см)^2 - (8,2 см)^2 OS^2 = 67,24 см^2

OS = √67,24 см ≈ 8,2 см

Теперь мы можем найти периметр треугольника OSF:

Периметр треугольника OSF = OS + SF + OF Периметр треугольника OSF = 8,2 см + 8,2 см + 2R

Мы знаем, что диаметр HL равен 2R, так что:

Периметр треугольника OSF = 8,2 см + 8,2 см + 2R Периметр треугольника OSF = 8,2 см + 8,2 см + HL

Мы уже определили, что HL равна 8,2 см, поэтому:

Периметр треугольника OSF = 8,2 см + 8,2 см + 8,2 см Периметр треугольника OSF = 24,6 см

Таким образом, периметр треугольника OSF составляет 24,6 см.