Question

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см. Двугранный угол при ребре основания равен Найти объём пирамиды.​

Answer 1

Ответ:

24√2 см³

Объяснение:

Задание

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см. Двугранный угол при ребре основания равен arctg 2/3. Найти объём пирамиды.​

Решение

1) Так как четырёхугольная пирамида SABCD (см. рисунок) правильная, то, согласно определению правильной пирамиды,  в её основании лежит квадрат (ABCD), а основание высоты (SO) совпадает с центром пересечения диагоналей основания (в точке О).

2) Так как SO⊥плоскости основания ABCD, то SO⊥OC, лежащей в плоскости основания, в силу чего ОС является проекцией бокового ребра SC на плоскость основания, а ∠SCO, принадлежащий диагональному сечению пирамиды (проходит через диагональ АС основания пирамиды и её вершину), является градусной мерой двугранного угла при ребре основания, то есть ∠SCO = arctg 2/3 (угол, тангенс которого равен 2/3).

3) Диагонали квадрата ABCD в точке пересечения О делятся пополам. Следовательно:

ОС = AC/2 = √(АD²+DC²) / 2 = √(6²+6²) / 2 = (√72)/2 =√(36·2)/2 =

= (6√2) /2 = 3√2 см

4) В прямоугольном ΔSOC стороны SO (высота пирамиды) и ОС (проекция бокового ребра на плоскость основания) являются катетами.

Катет равен другому катету, умноженному на тангенс угла, противолежащего этому катету.

SO = OC · tg (arctg 2/3) = OC · 2/3 =3√2 · 2/3 = 2√2 см

5) Объём пирамида равен произведению 1/3 площади основания на высоту:

V = 6²· 2√2 : 3 = 12· 2√2 = 24√2 см³ ≈ 24 · 1,4142 ≈ 33,94 см³

Ответ: объём пирамиды равен 24√2 см³ ≈ 33,94 см³

Answer 2

Чтобы найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, необходимо использовать формулу для объёма пирамиды: \(V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h\), где \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания, \(h\) - высота пирамиды.

В данном случае известно, что сторона основания равна 6 см. Чтобы найти площадь основания \(S_{\text{основания}}\) для четырёхугольной пирамиды, необходимо знать форму основания. Предположим, что основание пирамиды - квадрат.

Площадь квадрата вычисляется как \(S = a^2\), где \(a\) - длина стороны квадрата (в данном случае 6 см).

\[S_{\text{основания}} = 6^2 = 36 \, \text{см}^2\]

Следующим шагом нужно найти высоту пирамиды. В правильной четырёхугольной пирамиде, высота \(h\) может быть найдена с использованием высоты боковой грани и угла при ребре основания.

Учитывая, что у нас есть двугранный угол при ребре основания, и сторона основания составляет прямой угол с боковой гранью пирамиды, можем использовать тригонометрические соотношения.

Если угол при основании прямой, то катет (половина диагонали основания) и высота пирамиды образуют прямой угол.

Пусть \(h\) - высота пирамиды, а \(d\) - диагональ квадрата (основания), тогда \(h\) и \(d\) связаны следующим образом:

\[h = \sqrt{d^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2}\]

Диагональ \(d\) квадрата с стороной \(a\) (6 см) может быть найдена по теореме Пифагора: \(d = a \times \sqrt{2}\).

\[d = 6 \times \sqrt{2}\]

Подставим это значение в формулу для вычисления высоты \(h\):

\[h = \sqrt{(6 \times \sqrt{2})^2 - \left(\frac{6 \times \sqrt{2}}{2}\right)^2}\]

\[h = \sqrt{72 - 18}\]

\[h = \sqrt{54}\]

\[h = 6\sqrt{6}\]

Теперь у нас есть и площадь основания (\(S_{\text{основания}} = 36 \, \text{см}^2\)) и высота пирамиды (\(h = 6\sqrt{6}\)).

Теперь мы можем найти объём пирамиды, используя формулу:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h\] \[V = \frac{1}{3} \times 36 \times 6\sqrt{6}\] \[V = 72\sqrt{6}\, \text{см}^3\]

Следовательно, объём правильной четырёхугольной пирамиды равен \(72\sqrt{6}\, \text{см}^3\).