Question

диагональ равнобедренной трапеции делит ее острый угол пополам больше основание равно 18 периметр равен 42 Найдите среднюю линию трапеции​

Answer 1

Ответ:

13

Объяснение:

На фотографии

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу подробно.

Для начала, давайте обозначим основания трапеции. Пусть a и b будут длинами оснований, где a больше, чем b. Также давайте обозначим диагональ трапеции как d.

Из условия задачи известно, что диагональ делит острый угол трапеции пополам. Это означает, что диагональ d является медианой острого угла. Теперь мы можем воспользоваться свойствами равнобедренной трапеции для нахождения других сторон.

1. Сначала найдем высоту равнобедренной трапеции. Высота равнобедренной трапеции делит ее на два равных прямоугольных треугольника. Поскольку у нас есть медиана (диагональ), она также является биссектрисой острого угла. Это означает, что высота разделяет острый угол пополам, и мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти высоту.

2. Для прямоугольного треугольника, где гипотенуза - это d (диагональ), а одна из катетов - это половина основания a/2, мы можем использовать теорему о тангенсе: \(\tan(\alpha) = \frac{{\text{противоположный катет (высота)}}}{{\text{половина основания (a/2)}}}\)

\(\tan(\alpha) = \frac{h}{a/2}\)

Поскольку у нас диагональ делит угол пополам, то \(\alpha = 45^\circ\), и \(\tan(45^\circ) = 1\). Таким образом, мы можем записать:

\(1 = \frac{h}{a/2}\)

\(h = \frac{a}{2}\)

3. Теперь у нас есть высота h, и мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, где гипотенуза - это d, а один из катетов - это h:

\(d^2 = (a/2)^2 + h^2\)

\(d^2 = (a/2)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\)

\(d^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}\)

\(d^2 = \frac{a^2}{2}\)

\(d = \sqrt{\frac{a^2}{2}}\)

4. Теперь мы знаем, что длина диагонали d связана с длиной основания a следующим образом:

\(d = \sqrt{\frac{a^2}{2}}\)

5. Периметр трапеции равен сумме всех ее сторон. С учетом наших обозначений, это можно записать как:

Периметр = a + b + 2d

Мы знаем, что периметр равен 42, поэтому:

\(42 = a + b + 2d\)

6. Теперь мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

\(\begin{cases} 42 = a + b + 2d \\ d = \sqrt{\frac{a^2}{2}} \end{cases}\)

7. Мы можем решить эту систему уравнений. Сначала найдем значение d из второго уравнения:

\(d = \sqrt{\frac{a^2}{2}}\)

\(d^2 = \frac{a^2}{2}\)

\(a^2 = 2d^2\)

\(a = \sqrt{2}d\)

8. Теперь мы можем подставить это значение a в первое уравнение:

\(42 = \sqrt{2}d + b + 2d\)

9. Теперь объединим коэффициенты при d:

\(42 = (1 + \sqrt{2})d + b\)

10. Теперь мы можем выразить d:

\(d = \frac{42 - b}{1 + \sqrt{2}}\)

11. Теперь мы можем найти среднюю линию трапеции, которая равна половине суммы длин ее оснований:

Средняя линия = (a + b) / 2

Средняя линия = \(\left(\sqrt{2}d + b\right) / 2\)

Средняя линия = \(\frac{\sqrt{2}d + b}{2}\)

12. Теперь мы можем подставить значение d из шага 10 в формулу для средней линии:

Средняя линия = \(\frac{\sqrt{2} \cdot \frac{42 - b}{1 + \sqrt{2}} + b}{2}\)

13. Теперь выразим среднюю линию в числовом виде:

Средняя линия = \(\frac{\sqrt{2} \cdot (42 - b) + b(1 + \sqrt{2})}{2(1 + \sqrt{2})}\)

14. Теперь вы можете вычислить значение средней линии, зная значение b, которое является длиной меньшего основания.