Question

У трикутнику центр вписаного кола лежить на висоті. Доведіть, що цей трикутник рівнобедрений.

Answer 1

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на высоте. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.

Объяснение:

В  ΔАВС, О-центр вписанной окружности . Тогда ВО -биссектриса ∠АВС ( центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис).

Продолжим ВО до пересечения со стороной АС , получим точку Н .

По условию ВН-высота ⇒ ∠АНВ=∠СНВ=90°.

ΔАВН=ΔСВН , как прямоугольные  по катету ( ВН-общий) и острому углу ( ∠АВН=∠СВН , ВН-биссектриса).

В равных треугольниках соответственные углы равны ⇒ АВ=ВС ⇒ΔАВС-равнобедренный.

Answer 2

Для доведення того, що трикутник є рівнобедреним, спочатку потрібно розглянути властивості вписаного кола.

Основна властивість вписаного кола полягає в тому, що дотична до кола у точці дотику є перпендикулярною до відрізка, що з'єднує центр кола з точкою дотику.

Отже, якщо центр вписаного кола лежить на висоті трикутника, то дотична до кола у точці дотику буде перпендикулярною до висоти.

У рівнобедреному трикутнику висота є відрізком, що з'єднує вершину з серединою основи. Таким чином, дотична до кола у точці дотику буде перпендикулярною до сторони трикутника, яка є основою рівнобедреного трикутника.

Таким чином, ми довели, що центр вписаного кола лежить на висоті трикутника, а отже, трикутник є рівнобедреним.