Question

Метод координат На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 4. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 9, AD = 6 , AA1 = 14. б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1.

Answer 1

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 4. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 9, AD = 6 , AA1 = 14.

б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1.

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать метод координат. Давайте разберемся подробнее.

1. Нахождение координат точек

У нас есть прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, где AB = 9, AD = 6 и AA1 = 14.

Для начала, найдем координаты точек A, A1, B, B1, C, C1, D и D1. Поскольку нам дано только расстояние между точками, мы можем выбрать произвольное значение для одной из координат и вычислить остальные с использованием заданных размеров.

Давайте выберем следующие координаты: A(0, 0, 0), A1(0, 0, 14), B(0, 9, 0), B1(0, 9, h), C(6, 0, 0), C1(6, 0, h), D(6, 9, 0), D1(6, 9, h),

где h - значение, которое мы должны найти.

2. Нахождение координат точки E

Теперь, нам дано, что A1E : EA = 3 : 4. Мы знаем координаты точек A1 и E, поэтому мы можем использовать эту информацию, чтобы вычислить координаты точки E.

Пусть E(x, y, z). Тогда мы можем записать следующие уравнения:

(x - 0) / (0 - x) = 3/4, получаем 4x = -3x, следовательно, x = 0.

(y - 0) / (0 - y) = 3/4, получаем 4y = -3y, следовательно, y = 0.

(z - 14) / (0 - z) = 3/4, получаем 4z - 56 = -3z, следовательно, z = 8.

Таким образом, координаты точки E равны E(0, 0, 8).

3. Нахождение координат точки T

Также нам дано, что T - середина ребра B1C1. Мы знаем координаты точек B1 и C1, поэтому мы можем использовать эту информацию, чтобы найти координаты точки T.

Пусть T(x, y, z). Тогда мы можем записать следующие уравнения:

(x - 0) / (6 - 0) = 1/2, получаем 2x = 6, следовательно, x = 3.

(y - 9) / (0 - 9) = 1/2, получаем 2y - 18 = -9, следовательно, y = 0.

(z - h) / (h - z) = 1/2, получаем 2z - 2h = h - z, следовательно, 3z = 3h, следовательно, z = h.

Таким образом, координаты точки T равны T(3, 0, h).

4. Нахождение угла между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1

Чтобы найти угол между двумя плоскостями, нам нужно найти нормали к этим плоскостям, а затем найти угол между ними.

Уравнение плоскости проходящей через точки E, T и D1: ETD1: (x - 0)(0 - 3)(9 - 9) + (y - 0)(0 - 0)(9 - 9) + (z - 8)(3 - 0)(9 - 9) = 0 : 0 + 0 + 0 = 0

Уравнение плоскости проходящей через точки A, A1 и B1: AA1B1: (x - 0)(0 - 0)(9 - 0) + (y - 0)(0 - 0)(9 - 0) + (z - 0)(0 - 14)(9 - 0) = 0 : 0 + 0 + 0 = 0

Обратите внимание, что в уравнениях использовались координаты точек, которые мы нашли ранее.

Теперь, нам нужно найти нормали к этим плоскостям. Для этого мы можем взять коэффициенты при x, y и z в уравнениях плоскостей.

Для ETD1, нормаль будет (0, 0, 0). Для AA1B1, нормаль будет (0, 0, 9 - 0) = (0, 0, 9).

Так как нормаль ETD1 состоит из нулевых координат, она не имеет направления. Поэтому мы не можем найти угол между ETD1 и AA1B1.

Таким образом, угол между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1 не может быть определен.