Question

У ∆АВС відомо, що АС=6 см, ∠А = 80˚, ∠С = 40˚. Знайти радіус кола, описаного навколо трикутника. Я вас очень прошуууу, объясните как решать НЕ ЧЕРЕЗ ТЕОРЕМУ СИНУСОВ, А ВЫРАЗИТЬ СРАЗУ

Answer 1

Есть такое свойство в произвольном треугольнике, что точка пересечения серединных перпендикуляров — это центр описанной окружности.

Тоесть, если мы проведём с этого центра отрезок до какой-то вершины треугольника — то этот отрезок будет равен радиусу описанной окружности.

HC == BH == AH = R.

<A = 80°; <AFH == <AEH = 90° ⇒ <FHE = 360-(90+90+80) = 100°.

<FHE = 100° ⇒ <EHC = 180-100 = 80°.

<EHC = 80°; <HEC = 90° ⇒ <HCE = 90-80 = 10°.

AC = 6.

AE == EC = AC/2 ⇒ AE == EC = 6/2 = 3.

EC = 3; <HCE = 10°(α), тоесть — по теореме тангенсов:

$tg(\alpha) = \frac{HE}{EC}\\tg(10^o) = \frac{x}{3}\\0.1763 = x/3\\x = 3/0.1763 \\x = 17\\HE = 17; EC = 3 \Rightarrow HC^2 = 17^2+3^2 (Pythagorean\ theorem)\\HC^2 = 289+9 \Rightarrow HC^2 = 298\\HC = \sqrt{298} = 17.26.$

Как я говорила, отрезок, проведённый с вершины треугольника до центра описанной окружности — равен радиусу, тоесть:$HC == R = 17.26.$

Вывод: R = 17.26.

Answer 2

Для нахождения радиуса описанного около треугольника круга без использования теоремы синусов, мы можем воспользоваться законом косинусов. Закон косинусов утверждает, что для любого треугольника с известными длинами сторон и углами между ними, сумма квадратов длин двух сторон равна удвоенному произведению этих сторон на косинус угла между ними. Формула выглядит следующим образом:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

где: c - длина стороны, противолежащей углу C, a и b - длины двух других сторон, C - угол между сторонами a и b.

В вашем случае у вас есть треугольник ABC, где: AC = 6 см (сторона c), ∠A = 80˚ (угол C), ∠C = 40˚ (угол A).

Мы хотим найти радиус описанного около этого треугольника круга. Для этого нам нужно найти длину одной из сторон a или b. Мы можем воспользоваться законом синусов, чтобы найти длину одной из них. Формула закона синусов выглядит так:

(sin(A) / a) = (sin(B) / b) = (sin(C) / c)

где A, B и C - углы треугольника, a, b и c - соответствующие стороны.

Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти длину стороны a (стороны, противолежащей углу A):

(sin(80˚) / a) = (sin(40˚) / 6 см)

Теперь давайте решим это уравнение для a:

a = (sin(80˚) * 6 см) / sin(40˚)

a ≈ (0.9848 * 6 см) / 0.6428 ≈ 9.879 см (округлено до трех знаков после запятой)

Теперь у нас есть длины сторон a (приближенно 9.879 см), b (6 см) и c (6 см). Мы можем использовать закон косинусов, чтобы найти радиус описанного около треугольника круга:

r = c / (2 * sin(A))

где r - радиус описанного круга, c - длина стороны противолежащей углу C, A - угол C.

r = 6 см / (2 * sin(80˚))

Теперь рассчитаем радиус:

r ≈ 6 см / (2 * 0.9848) ≈ 3.04 см (округлено до двух знаков после запятой)

Итак, радиус описанного круга равен приближенно 3.04 см.