Question

Даны координаты вершин пирамиды АВСD. Требуется: 1) записать векторы AB, AC и AD в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами AB и AC ; 3) найти проекцию вектора AD на AB вектор ; 4) найти площадь грани АВС; найти объем пирамиды АВСD A(-3;-6;2), B(1;-2;0), C(-1;5;-8), D(-3;-4;3).

Answer 1

Ответ:

1) Вектор АВ (4;4;-1) модуль 6

АС (2; 11; 6) модуль 12,7

2) угол между векторами АВ и АС =58,3°

3) проекция вектора АD на вектор АВ = 1

4) SΔABC = 32.4

VABCD=1/3*SΔABC*h=1/3*32.4*0.31=3.3

Объяснение:

Answer 2

1) Чтобы записать векторы ab, ac и ad в системе орт, нам необходимо найти разность координат соответствующих точек.

Вектор ab = b - a = (1; -2; 0) - (-3; -6; 2) = (1 + 3; -2 + 6; 0 - 2) = (4; 4; -2) Модуль вектора ab = √(4^2 + 4^2 + (-2)^2) = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6

Вектор ac = c - a = (-1; 5; -8) - (-3; -6; 2) = (-1 + 3; 5 + 6; -8 - 2) = (2; 11; -10) Модуль вектора ac = √(2^2 + 11^2 + (-10)^2) = √(4 + 121 + 100) = √225 = 15

Вектор ad = d - a = (-3; -4; 3) - (-3; -6; 2) = (-3 + 3; -4 + 6; 3 - 2) = (0; 2; 1) Модуль вектора ad = √(0^2 + 2^2 + 1^2) = √(0 + 4 + 1) = √5 ≈ 2.24

2) Чтобы найти угол между векторами ab и ac, мы можем использовать скалярное произведение векторов. Формула для нахождения угла между двумя векторами: cos(θ) = (ab · ac) / (|ab| * |ac|)

ab · ac = 4 * 2 + 4 * 11 + (-2) * (-10) = 8 + 44 + 20 = 72 |ab| * |ac| = 6 * 15 = 90

cos(θ) = 72 / 90 = 0.8 θ = arccos(0.8) ≈ 37°

3) Проекция вектора ad на вектор ab можно найти с помощью формулы проекции: proj_ab(ad) = (ad · ab) / |ab| ad · ab = 0 * 4 + 2 * 4 + 1 * (-2) = 0 + 8 - 2 = 6 proj_ab(ad) = 6 / 6 = 1

4) Чтобы найти площадь грани АВС, мы можем использовать формулу площади треугольника, где площадь равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними.

Площадь грани = (1/2) * |ab| * |ac| * sin(θ) Площадь грани = (1/2) * 6 * 15 * sin(37°) Площадь грани ≈ 43.77

5) Чтобы найти объем пирамиды АВСd, мы можем использовать формулу объема, где объем равен одной шестой части площади основания, умноженной на высоту пирамиды.

Объем пирамиды = (1/6) * S_основания * h Объем пирамиды = (1/6) * 43.77 * h

Высоту пирамиды можно найти, используя формулу высоты, где высота равна проекции вектора ad на основание пирамиды.

h = proj_ab(ad) h = 1

Объем пирамиды = (1/6) * 43.77 * 1 Объем пирамиды ≈ 7.29