Question

Точка D находится на расстоянии 17 см от каждой вершины прямоугольного треугольника АВС (∠ACB = 90°). Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС, если АС = 10√2 см, ВС = 2√14 см.

Answer 1

Ответ:

Расстояние от точки D до плоскости АВС 15 см.

DO = 15 см.

Объяснение:

Дано: ∠ACB = 90°, DO ⊥ ABC, AD = BD = CD = 17 см, $AC = 10\sqrt{2}$ см, $BC = 2\sqrt{14}$ см

Найти: DO - ?

Решение: Так как точка D равноудалена от каждой вершины треугольника(по условию AD = BD = CD), то согласно теореме она проектируется в центр описанной окружности треугольника. Так как центр описанной окружности лежит на гипотенузе и делит гипотенузу пополам, то точка D проектируется в точку O которая является серединой гипотенузы AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔABC(по условию ∠ABC = 90°). По теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2} } = \sqrt{(10\sqrt{2} )^{2}+ (2\sqrt{14} )^{2}} = \sqrt{200 + 56} = \sqrt{256} = 16$ см.

Так как точка O является серединой гипотенузы AB, то AO = OB =

AB : 2 = 16 : 2 = 8 см. Треугольник ΔAOD - прямоугольный так как DO ⊥ ABC по условию. По теореме Пифагора: $OD = \sqrt{AD^{2} -AO^{2} } = \sqrt{17^{2} -8^{2} } = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Answer 2

Для нахождения расстояния от точки D до плоскости треугольника ABC, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости. Формула для этого расстояния выглядит следующим образом:

d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)

Где (x, y, z) - координаты точки D, A, B, C - коэффициенты плоскости ABC (уравнение плоскости), а D - расстояние от начала координат до плоскости.

Давайте сначала найдем уравнение плоскости ABC.

Мы знаем, что точка D находится на расстоянии 17 см от каждой вершины треугольника. Так как у нас прямоугольный треугольник, то мы можем предположить, что точка D находится на высоте, опущенной из вершины C на гипотенузу AB.

Пусть H - это точка пересечения высоты с гипотенузой AB. Тогда HC будет равно 17 см.

Мы знаем, что треугольник ABC прямоугольный, поэтому мы можем использовать подобие треугольников для нахождения значений HC и AC.

HC / BC = AC / AB

17 / BC = 10√2 / AB

Теперь найдем значение BC:

BC = (17 * AB) / (10√2)

Теперь у нас есть значение BC, и мы можем найти уравнение плоскости ABC, зная координаты точек A, B и C.

Для точки A (0, 0, 0): A(0, 0, 0)

Для точки B (10√2, 0, 0): B(10√2, 0, 0)

Для точки C (0, 2√14, 0): C(0, 2√14, 0)

Теперь мы можем найти коэффициенты A, B и C для уравнения плоскости ABC, используя векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости треугольника.

Вектор AB = (10√2, 0, 0) Вектор AC = (0, 2√14, 0)

A = (AB_y * AC_z - AB_z * AC_y) A = (0 * 0 - 0 * 2√14) A = 0

B = (AB_z * AC_x - AB_x * AC_z) B = (0 * 0 - 10√2 * 0) B = 0

C = (AB_x * AC_y - AB_y * AC_x) C = (10√2 * 2√14 - 0 * 0) C = 28√2

Теперь у нас есть коэффициенты A, B и C, и мы можем найти D, используя координаты одной из вершин треугольника, например, точку A:

D = |0 * 0 + 0 * 0 + 28√2 * 0 + D| / √(0^2 + 0^2 + (28√2)^2) D = |0 + D| / √(0 + 0 + 784 * 2) D = |D| / √(1568)

Так как точка D находится на расстоянии 17 см от плоскости ABC, то D = 17. Подставляем это значение:

17 = |D| / √(1568)

|D| = 17 * √(1568)

|D| = 17 * √(16 * 98)

|D| = 17 * 4√98

|D| = 68√98

Таким образом, расстояние от точки D до плоскости ABC равно 68√98 см.