Question

Задание 1. Найдите координаты вектора, который перпендикулярен вектору a→(3;−1) и модуль которого равен модулю вектора a→ . (2;6–√) (1;3) и (−1;−3) (1;3) (2;6) задание 2. Угол между векторами a→ и b→ равен 120∘, |a→|=|b→|=1. Вычислите скалярное произведение векторов (3a→+b→)(a→−b→)

Answer 1

Ответ:

1)    (1;3) и (−1;−3)

2)   3

Answer 2

Задание 1: Чтобы найти вектор, перпендикулярный вектору a→(3;-1) и имеющий такой же модуль, мы можем использовать свойство перпендикулярных векторов - их скалярное произведение равно нулю.

Пусть вектор b→(x;y) будет перпендикулярным к вектору a→ и иметь такой же модуль. Тогда скалярное произведение векторов a→ и b→ будет равно нулю: 3x - y + (-1)x + (-1)y = 0.

Уравнение принимает вид: 2x - 2y = 0.

Решим данное уравнение: 2y = 2x, y = x.

Значит, перпендикулярным вектору a→(3;-1) и имеющим такой же модуль будет вектор b→(x;y), где x и y равны.

Задание 2: Угол между векторами a→ и b→ равен 120∘, а модуль каждого вектора равен 1.

Скалярное произведение векторов a→ и b→ равно: (a⃗ ⋅ b⃗) = |a⃗| ⋅ |b⃗| ⋅ cos(120∘) = 1 ⋅ 1 ⋅ cos(120∘) = -0.5.

Теперь рассмотрим скалярное произведение векторов (3a→ + b→) и (a→ - b→): (3a⃗ + b⃗) ⋅ (a⃗ - b⃗) = 3(a⃗ ⋅ a⃗) - 3(a⃗ ⋅ b⃗) + 1(b⃗ ⋅ a⃗) - 1(b⃗ ⋅ b⃗). Заметим, что (a⃗ ⋅ b⃗) = (b⃗ ⋅ a⃗), а также a⃗ ⋅ a⃗ = |a⃗|^2 и b⃗ ⋅ b⃗ = |b⃗|^2. Тогда уравнение преобразуется к виду: (3(a⃗ ⋅ a⃗) - 2(a⃗ ⋅ b⃗) - 1(b⃗ ⋅ b⃗) = 3 ⋅ 1 - 2(-0.5) - 1 ⋅ 1 = 3 + 1 + 1 = 5.

Таким образом, скалярное произведение векторов (3a→ + b→) и (a→ - b→) равно 5.