Question

В равнобедренной трапеции ABCD основания AD=12 см, ВС=8 см, ∠А=60°. Найдите периметр трапеции.​

Answer 1

Ответ:

Периметр равен 4+4+8+12=28 см

Объяснение:

проводим прямую ВК ║СД Тогда ВСДК - параллелограмм по построению. Каждая пара сторон у него параллельна! Значит противоположные стороны равны (ВК=СД,ВС=ДК). ВК=СД=ВА

угол при основании А = 60°. Значит и угол ВКА равен 60° (углы при основании равнобедренного треугольника АВ=ВК) Значит треугольник равносторонний,если два угла по 60,то и третий 60. Сумма углов равна 180°, АК= АД-ДК = 12-8 = 4 (ДК=ВС=8)

АК=АВ=ВК=4

АВ=4,ВС=8,СД=4,АД=12

Периметр равен 4+4+8+12=28 см

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойства равнобедренных трапеций и тригонометрические функции.

В равнобедренной трапеции ABCD основания AD и BC равны. Обозначим эту длину за \(x\) см. Таким образом, AD = BC = \(x\) см.

Также из условия известно, что AD = 12 см и BC = 8 см.

Мы знаем, что в равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Таким образом, \(\angle A = \angle B = 60°\).

Рассмотрим треугольник ACD. Известно, что угол при вершине \(60°\), поэтому угол при основании, например, \(\angle DAC\), равен \(180° - 60° = 120°\). Теперь мы можем воспользоваться законом косинусов для нахождения длины боковой стороны трапеции:

\[ AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos(\angle DAC) \]

Подставляя известные значения, получаем:

\[ AC^2 = 12^2 + x^2 - 2 \cdot 12 \cdot x \cdot \cos(120°) \]

Угол \(\cos(120°)\) можно выразить как \(-\frac{1}{2}\), поэтому уравнение принимает вид:

\[ AC^2 = 144 + x^2 + 12x \]

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Здесь у нас есть два боковых равных отрезка (AB и BC) и угол \(\angle B = 60°\). Мы можем воспользоваться законом косинусов для этого треугольника:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle B) \]

Подставляя известные значения и выражение для \(AC^2\), получаем:

\[ x^2 = 144 + x^2 + 12x + 64 - 2 \cdot (12 + x) \cdot \frac{1}{2} \]

Упрощая уравнение, получаем:

\[ x^2 = 208 - 12x \]

или

\[ x^2 + 12x - 208 = 0 \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Решения этого уравнения будут значениями x, длины основания равнобедренной трапеции.

\[ (x + 20)(x - 8) = 0 \]

Из этого уравнения видно, что x может быть -20 (отрицательное значение, не подходит для длины) или 8 см. Таким образом, длина основания равнобедренной трапеции равна 8 см.

Теперь можем найти периметр трапеции, сложив все ее стороны:

\[ \text{Периметр} = AD + AB + BC + CD = 12 \, \text{см} + 8 \, \text{см} + 8 \, \text{см} + 12 \, \text{см} = 40 \, \text{см} \]

Таким образом, периметр равнобедренной трапеции ABCD составляет 40 см.