Question

В треугольнике ABC провели высоту BH и биссектрису BL. Оказалось что треугольник ABL и LBC равнобедренные, а BH высота равнобедренного треугольника ABL, проведённая к основанию AL. Докажите что треугольник ABC равнобедренный​

Answer 1

Объяснение:

Дано: ΔАВС;

ВН - высота; BL - биссектриса.

ΔABL - равнобедренный; ΔLBC - равнобедренный.

Доказать: ΔАВС - равнобедренный.

Доказательство:

1) Пусть ∠1=∠2=α (BL - биссектриса) ⇒∠В=2α

2) Рассмотрим ΔLBC - равнобедренный;

∠2=∠3=α (при основании равнобедренного треугольника)

3) ∠5=∠2+∠3=2α (внешний)

4) Рассмотрим ΔABL - равнобедренный.

∠4=∠5=2α (при основании равнобедренного треугольника)

5) Рассмотрим ΔАВС.

∠А=∠В=2α ⇒ΔАВС - равнобедренный. (углы при основании равны)

Answer 2

Ответ:

Смотрите доказательство!

Объяснение:

Дано: BH ⊥ AC, ∠ABL = ∠CBL, AB = BL, BL = LC

Доказать: ΔABC - равнобедренный

Доказательство: Пусть угол ∠ABL = α, тогда угол ∠CBL = α, так как по условию ∠ABL = ∠CBL. Так как по условию треугольник ΔLBC - равнобедренный, то по свойствам равнобедренного треугольника углы при основании равны, тогда ∠CBL = ∠LCB, так как угол ∠CBL = α, то и угол ∠LCB = α.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ΔABL с основанием AL по условию. По свойствам равнобедренного треугольника углы при основании равны, тогда ∠BAL = ∠ALB. По теореме про сумму углов треугольника ∠BAL + ∠ALB + ∠ABL = 180° и так как ∠BAL = ∠ALB, тогда: 2∠BAL + ∠ABL = 2∠ALB + ∠ABL = 180°

2∠BAL + ∠ABL = 180°|:2

∠BAL + 0,5∠ABL = 90° ⇒ ∠BAL = 90° - 0,5∠ABL = 90° - 0,5α.

По теореме про сумму углов треугольника для треугольника ΔABC:

∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180°

∠ABL + ∠CBL + ∠LCB + ∠BAL = 180°

α + α + α + 90° - 0,5α = 180°

2,5α = 90°|:2,5

α = 36°

∠ABC = ∠ABL + ∠CBL = α + α = 36° + 36° = 72°

∠BCA = α = 36°

∠BAC = 90° - 0,5α = 90° - 0,5 * 36° = 90° - 18° = 72°

По теореме так как ∠ABC = ∠BAC = 72°, то треугольник ΔABC - равнобедренный.

Answer 3

Для доказательства того, что треугольник ABC является равнобедренным, нам понадобится использовать информацию о равнобедренности треугольников ABL и LBC, а также свойства высоты BH, проведенной к основанию AL треугольника ABL.

Дано: 1. Треугольники ABL и LBC равнобедренные. 2. Высота BH треугольника ABC проведена к основанию AL треугольника ABL.

Мы знаем, что треугольники ABL и LBC равнобедренные, что означает, что у них два угла равны. Так как угол ABL и угол LBC равны, и угол BLA и угол CBL равны, то у нас есть следующие равенства углов:

1. Угол ABL = угол LBC (равнобедренность треугольников ABL и LBC). 2. Угол BLA = угол CBL (равнобедренность треугольников ABL и LBC).

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что BH - высота треугольника ABC, проведенная к основанию AL. Из этого следует, что угол ABH равен углу ABL (по свойству высоты и основания). То есть:

3. Угол ABH = угол ABL

Теперь объединим эти равенства углов. Из уравнений (1), (2) и (3) получаем:

Угол ABH = угол ABL = угол LBC = угол CBL

Теперь мы видим, что угол ABH равен углу CBL, а угол BAC (вершина треугольника ABC) равен сумме углов ABH и CBL. Таким образом, угол BAC = углу ABH + угол CBL = углу CBL + угол CBL = 2 * угол CBL.

Из этого следует, что угол BAC равен углу, который является углом при вершине L треугольника LBC (так как угол CBL и угол LBC равны). Таким образом, треугольник ABC также равнобедренный, и его угол при вершине B равен углу при вершине A, что означает, что он является равнобедренным.