Question

Срочно! Нужна помощь #1 Даны векторы a (4; -2; -5), b(-3;4;-5) a) Будут ли коллинеарными векторы с=2а-4b и d=a-2b? б) Вычислите | 2c-3d | #2 A(5;8;-5), B(-1;4-1), C(5;-4;5) a) Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD б) На оси аппликат найдите точку,равноудалённую от точек B и С #3 Докажите,что ABCD-квадрат,если A(1; -4; 4), B(3;2;-5), C(9;9;1), D(7;3;10) Заранее спасибо!

Answer 1

Помогу с 1 заданием под "а"

1.  2a {8; -4; -10}

  -4b {12; -16; -20}

   2a-4b {20; -20; -30}

2. a {-4; 2; 5}

   -2b  {6; -8; 10}

  a-2b {2; -6; 15}

Ответ: не коллинеарны

Answer 2

#1 a = (4, -2, -5) b = (-3, 4, -5)

a) Чтобы определить, будут ли векторы c = 2a - 4b и d = a - 2b коллинеарными, нужно проверить, существует ли такое число k, что c = kd. Если такое k существует, то векторы будут коллинеарными.

Сначала вычислим c и d: c = 2a - 4b = 2(4, -2, -5) - 4(-3, 4, -5) = (8, -4, -10) - (-12, 16, -20) = (8 + 12, -4 - 16, -10 + 20) = (20, -20, 10) d = a - 2b = (4, -2, -5) - 2(-3, 4, -5) = (4, -2, -5) - (-6, 8, -10) = (4 + 6, -2 - 8, -5 + 10) = (10, -10, 5)

Теперь мы можем найти k, сравнив компоненты c и d: k = (20/10) = 2

Таким образом, k = 2, и векторы c и d коллинеарны, так как c = 2d.

б) Чтобы вычислить |2c - 3d|, нужно сначала найти вектор 2c и вектор 3d, а затем вычислить их разность и норму этой разности.

2c = 2(20, -20, 10) = (40, -40, 20) 3d = 3(10, -10, 5) = (30, -30, 15)

Теперь найдем разность: 2c - 3d = (40, -40, 20) - (30, -30, 15) = (40 - 30, -40 + 30, 20 - 15) = (10, -10, 5)

Наконец, вычислим норму этой разности: |2c - 3d| = √(10^2 + (-10)^2 + 5^2) = √(100 + 100 + 25) = √225 = 15

Ответ: |2c - 3d| = 15.

#2 a) Найдем координаты вершины D параллелограмма ABCD. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому D = A + C - B:

D = A + C - B = (1, -4, 4) + (9, 9, 1) - (3, 2, -5) = (1 + 9 - 3, -4 + 9 - 2, 4 + 1 + 5) = (7, 3, 10)

Таким образом, координаты вершины D равны (7, 3, 10).

б) Чтобы найти точку, равноудаленную от точек B и C, найдем середину отрезка между этими точками. Середина отрезка задается как среднее арифметическое координат точек B и C:

Середина = (B + C) / 2 = ((-1, 4, -1) + (5, -4, 5)) / 2 = (4/2, 0/2, 4/2) = (2, 0, 2)

Таким образом, точка, равноудаленная от точек B и C, имеет координаты (2, 0, 2).

#3 Чтобы доказать, что ABCD - квадрат, нам нужно убедиться, что все его стороны равны и углы прямые. Для этого проверим длины сторон и скалярное произведение векторов.

Длины сторон: AB = √((3 - 1)^2 + (2 - (-4))^2 + (-5 - 4)^2) = √(4^2 + 6^2 + 9^2) = √(16 + 36 + 81) = √133 BC = √((9 - 3)^2 + (9 - 2)^2 + (1 - (-5))^2) = √(6^2 + 7^2 + 6^2) = √(36 + 49 + 36) = √121 = 11 (Заметьте, что BC = |AC|) CD = √((7 - 9)^2 + (3 - 9)^2 + (10 - 1)^2) = √((-2)^2 + (-6)^2 + 9^2) = √(4 + 36 + 81) = √121 = 11 (Заметьте, что CD = |BC|) DA = √((1 - 7)^2 + (-4 - 3)^2 + (4 - 10)^2) = √((-6)^2 + (-7)^2 + (-6)^2) = √(36 + 49 + 36) = √121 = 11 (Заметьте, что DA = |AC|)

Скалярное произведение векторов: AB ⋅ BC = (3 - 1)(9 - 3) + (2 - (-4))(9 - 2) + (-5 - 4)(1 - (-5)) = 2 * 6 + 6 * 7 - 9 * 6 = 12 + 42 - 54 = 0 BC ⋅ CD = (9 - 3)(7 - 9) + (9 - 2)(3 - 9) + (1 - (-5))(10 - 1) = 6 * (-2) + 7 * (-6) + 6 * 9 = -12 - 42 + 54 = 0 CD ⋅ DA = (-2 - 7)(1 - 7) + (-6 - 6)(4 - 10) + (9 - 1)(10 - 1)