Question

Даны точки A (1; 3), B (3; 7), C (5; 4). Найди координаты точки D (x; y), чтобы выполнялось равенство AB=2CD

Answer 1

Ответ:

Координаты точки D это любая пара чисел (x;y) удовлетворяющая уравнению окружности:

$5 = (x - 5)^{2} + (y - 4)^{2}$

Объяснение:

По формуле расстояния между двумя точками:

$AB = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{A} - y_{B})^{2}} = \sqrt{(3 - 1)^{2} + (7 - 3)^{2}} = \sqrt{2^{2} +4^{2} } = \sqrt{4 + 16}=$

$= \sqrt{20}.$

$CD = \sqrt{(x_{D} - x_{C})^{2} + (y_{D} - y_{C})^{2}} = \sqrt{(x - 5)^{2} + (y - 4)^{2}}$

$AB = 2 CD \Longrightarrow CD = 0,5 AB = 0,5 * \sqrt{20} = 0,5 * \sqrt{4 * 5} = 0,5 * 2 \sqrt{5} = \sqrt{5}$

$CD^{2} = (x - 5)^{2} + (y - 4)^{2}$ - уравнение окружности:

Так точка C - центр окружности, то координаты точки D это любая пара чисел (x;y) удовлетворяющая уравнению окружности:

$5 = (x - 5)^{2} + (y - 4)^{2}$

Answer 2

Для начала, найдем длины отрезков AB и CD, чтобы установить соотношение между ними.

Длина отрезка AB можно вычислить с помощью формулы расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

Длина AB = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

В данном случае, A(1, 3) и B(3, 7).

Длина AB = \(\sqrt{(3 - 1)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)

Теперь, учитывая равенство \(AB = 2 \cdot CD\), мы можем записать:

\(2\sqrt{5} = 2 \cdot CD\)

Отсюда получаем:

\(CD = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}\)

Теперь найдем точку D. Пусть D имеет координаты (x, y).

Точка C(5, 4), поэтому длина CD выражается как:

Длина CD = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

\(\sqrt{(x - 5)^2 + (y - 4)^2} = \sqrt{5}\)

Для упрощения решения квадрат уравнения уравним квадраты обеих сторон:

\((x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 5\)

Теперь мы можем найти точку D, удовлетворяющую этому условию. Для этого исследуем возможные значения x и y, учитывая это уравнение:

\((x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 5\)

Для примера, возможным решением может быть D(3, 4), так как:

\((3 - 5)^2 + (4 - 4)^2 = 2^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4 = 2\sqrt{5}\)

Таким образом, точка D с координатами (3, 4) удовлетворяет условию \(AB = 2CD\) для данного случая.