Question

Даю 60 балов! Дві сторони трикутника дорівнюють 23 см і 30 см, а медіана, проведна до більшої з відомих сторін, дорівнює 10 см. Знайдіть довжину третьої сторони трикутника.​

Answer 1

Ответ:

11 см.

Объяснение:

1. Пусть для определённости в ∆ АВС АВ = 23 см, АС = 30 см, длину стороны ВС ищем. Пусть ВМ - медиана данного треугольника, по условию ВМ = 10 см.

2. Применим для решения метод удвоения медианы.

Продлим ВМ за точку М на длину, равную значению медианы, и соединим вершины данного треугольника с полученной при этом точкой D. В результате мы получим новый четырехугольник ABCD. Его диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, тогда по признаку ABCD - параллелограмм.

3. В параллелограмме по теореме

сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

Так как противолежащие стороны равны по свойству, то

BD² + AC² = 2•(AB² + BC²)

20² + 30² = 2 • (23² + BC²)

1300 = 2 • (529 + BC²)

650 = 529 + BC²

BC² = 650 - 529

BC² = 121

BC = 11 (см).

Answer 2

Відповідаю детально. Для розв'язання задачі можна скористатися теоремою косинусів. Нехай АВС - трикутник, у якого АВ = 23 см, ВС = 30 см, а медіана СМ = 10 см. Тоді треба знайти довжину сторони АС. За теоремою косинусів маємо:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$$

Але ми не знаємо кута $\angle ABC$, тому треба знайти його за допомогою медіани СМ. За властивостями медіани маємо:

$$CM^2 = \frac{2BC^2 + 2AB^2 - AC^2}{4}$$

Підставляючи відомі значення, отримуємо:

$$10^2 = \frac{2 \cdot 30^2 + 2 \cdot 23^2 - AC^2}{4}$$

Звідси можна виразити $AC^2$:

$$AC^2 = 30^2 + 23^2 - 40 = 1329 - 40 = 1289$$

Тепер можна знайти косинус кута $\angle ABC$ за теоремою косинусів:

$$\cos \angle ABC = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{23^2 + 30^2 - 1289}{2 \cdot 23 \cdot 30} = \frac{40}{1380} = \frac{1}{34.5}$$

Отже, кут $\angle ABC$ дорівнює приблизно $83.4^\circ$. Тепер можна знайти довжину сторони АС за теоремою косинусів:

$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC} = \sqrt{23^2 + 30^2 - 2 \cdot 23 \cdot 30 \cdot \frac{1}{34.5}} = \sqrt{1289}$$

Відповідь: довжина третьої сторони трикутника дорівнює $\sqrt{1289}$ см, що приблизно рівно $35.9$ см.