Question

Трапеция 150 см² , в которой есть углы 90° и 150°, описана около окружности. Найдите радиус окружности.​

Answer 1

Дана прямоугольная трапеция с тупым углом 150° и площадью 150 см².

Примем радиус искомой вписанной окружности за r.

Находим верхнее основание b.

b = r + (r*tg (180° - 150°)/2) = r  + r*tg 15° = r(1 + tg 15°).

Тангенс половинного угла  

tan  α /2  =  ± √ ((1  −  cos  α) /(1  + сos  α )) =  sin  α /(1  +  cos  α ) =

=  (1  −  cos  α )/sin  α

Находим tg 15° = (1 -(√3/2))/(1/2) = 2 - √3.

Тогда b = r(1 + 2 - √3) = r(3 - √3).

Так как высота трапеции равна 2r, то нижнее основание с равно:

с = b + (2r/tg 30°) = r(3 - √3) + (2r/(1/√3)) = r(3 - √3 + 2√3) = r(3 + √3).

На основе формулы площади трапеции составляем уравнение:

2r*((r(3 - √3) + r(3 + √3))/2) = 150.

Получаем r²*6 = 150, откуда r = √(150/6) = √25 = 5 ед.

Ответ: r = 5 ед.

Answer 2

Для нахождения радиуса окружности, описанной вокруг данной трапеции, мы можем воспользоваться следующими шагами: 1. Разберемся с данными: - Площадь трапеции: 150 см². - В трапеции есть углы 90° и 150°. 2. Введем обозначения: - Обозначим бОльшую сторону трапеции как "a". - Обозначим меньшую сторону трапеции как "b". - Обозначим высоту трапеции как "h". - Обозначим радиус окружности как "R". 3. Рассмотрим трапецию и проведем диагональ, соединяющую противоположные углы 90° и 150°. Эта диагональ будет радиусом описанной окружности. 4. Так как трапеция содержит угол 90°, она разбивается на два прямоугольных треугольника. Один из этих треугольников можно представить следующим образом: - Гипотенуза этого треугольника - это сторона "a" трапеции. - Одна из катетов - это половина большей основы трапеции, то есть "a/2". - Другой катет - это высота "h". 5. Используя тригонометрию, мы можем записать следующее равенство для этого треугольника: sin(90°) = (a/2) / R sin(90°) равен 1, поэтому: 1 = (a/2) / R Теперь мы можем выразить радиус "R": R = (a/2) 6. Далее, мы знаем, что площадь трапеции можно найти как произведение полусуммы оснований (a и b) на высоту "h": S = (a + b) * h / 2 7. Подставим значение площади и известное нам значение "a/2" в это уравнение: 150 = (a + b) * h / 2 Теперь у нас есть два уравнения: 1. R = (a/2) 2. 150 = (a + b) * h / 2 8. Мы можем решить эту систему уравнений для нахождения радиуса "R". Давайте преобразуем второе уравнение: 150 = (a + b) * h / 2 300 = (a + b) * h h = 300 / (a + b) 9. Теперь подставим значение "a/2" из первого уравнения в уравнение для "h": h = 300 / (a + 2R) 10. Теперь мы можем заменить "h" во втором уравнении и решить его: 150 = (a + b) * [300 / (a + 2R)] 11. Упростим уравнение: 150 = (a + b) * 300 / (a + 2R) 12. Теперь выразим "R" из этого уравнения: 150 * (a + 2R) = 300 * (a + b) 150a + 300R = 300a + 300b 300R = 150a + 300b - 300a 300R = 150a + 300b - 300a 300R = 150b R = 150b / 300 R = b / 2 Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг данной трапеции, равен половине длины меньшей стороны трапеции, то есть "R = b / 2".